群の双対 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

『局所コンパクト可換群の双対群は抽象版のフーリエ変換が定義される空間として導入された』とWikipediaのポントリャーギン双対の記事にあるように、群のフーリエ変換を考えるときには群の双対のことをわかっている必要がある
ごく大雑把に言うと、ある世界での「立ち現われ方」は、その世界の「双対な世界」での「立ち現われ方」として見直すことができて、「双対」なので、相互に行き来ができるし情報の劣化がない。したがって、フーリエ変換というのは、双対な世界の間の行き来のこと、ということに「抽象版化」したということらしい
じゃあ、「双対」って…ということになるが：
- 「相互に行き来ができる」２つの世界の関係のことだが、あまりに漠然としているので、数学的に取り扱いやすくするために、「ベクトル空間」とその「双対ベクトル空間」的に見るとよいらしい
- ベクトル空間は、「線形性の成り立つ『ベクトル(値の組)』の世界」。「双対ベクトル空間」は「線形性の成り立つ関数の世界」
群とその双対群
- 群Gがある。群の要素を $\sigma \in G$ とする。
- 体Fがある。群の要素 $\sigma \in G$ を体Fの値に対応づけることにして、それを $x_{\sigma}$ とする。
- 群の要素に対応づいた $x_{\sigma}$ の集まり(要素数がn個ならn-tuple)を $(x_{\sigma}) \in F^G$ と書く。
- 群Gの双対群 $\hat{G}$ がある。その要素を $\chi \in \hat{G}$ とする。
- $\chi \in \hat{G}$ は、 $\sigma \in G$ を体F上の値に対応づける関数であって、それを $\chi(\sigma)$ と書く。これは $\sigma$ によって値が決まるので、 $(\chi(\sigma))$ も $(\chi(\sigma)) \in F^G$ と書ける。
- ただし $\chi(\sigma)$ は $\chi$ がn個、 $\sigma$ もn個あるので、 $\chi(\sigma)$ は $n^2$ 通りの対応付けがある。
- したがって、群Gとその双対群 $\hat{G}$ に関して体F上の値の組 $(x)$ には２つの添え字の方法があって、それは $(x_{\sigma})$ と $(x_{\chi})$ とである。
このようにして見てきた群、双対群、体上の値の組、群行列の間には、さらに、群行列の固有値、固有ベクトル、行列式を介した関係があるのだが、この記事の目的は巡回群に関してそれらを確かめて行くことなので、その部分は、次の記事で扱う巡回群における話の中で勉強して行くことにする。