「代数」「幾何」のためのメモ

  • こちらで非可換幾何学の本をぱらぱらめくっている
    • 多様体・空間・幾何を可換/非可換代数と結びつける話なのだが、K-理論の辺りで、どうにもわからなくなる
    • どうにもわからない、というのは、出てくる術語の一つ一つがどういうことだったのかがわからないし、それらを連続させて説明している文での、術語の連結の理由がまったくわからない
  • というわけで整理する
  • 位相・トポロジーと代数
    • 位相がどうなっているか、を「代数計算」しようとすると、位相と代数構造との関係付けが必要になる
      • ホモロジーはそういった道具の一つ(ホモトピーというのもある)
        • ホモロジーそのものは、位相に関わるだけでなく数学的対象を代数計算に持ち込む道具であって、Wikiには「数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続き」とある
  • ホモロジーコホモロジー
    • ホモロジーを考えるとアーベル群(や加群)が出てきて代数計算しやすくなるが、もっとしやすくするために、代数構造の対応関係を使おうという話
    • Wikiには「コホモロジーは、代数的不変量を、ホモロジーがもっているよりも洗練された代数的構造をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる」とある
    • 幾何・位相を考えるているとき、興味があるのが「代数的不変量」であるなら、コホモロジーを考えることがよさそうであることが読み取れる
  • コホモロジー微分幾何
  • 代数構造の対応付け
    • ホモロジーコホモロジー、代数構造の対応付け、とか言って、複鎖体など、おどろおどろしい世界になっているが、それも「代数構造の対応を取る」ということがどういうことかを確認することで、わかりやすくなるだろう
    • また、対応付けが実現してくれるのは何か、と言えば、代数構造の対応付けさえ済ませてしまえば、代数構造の中での機械的演算をすればよくなることがありがたい
  • 代数構造の対応付けとしての、「自然数から整数を作る」話
    • こちらにあるように、自然数から整数を作るためには、『足し算でうまく行っている自然数』に『引き算』を導入することで、新しい代数構造ができる。実際、自然数を持って来れば、足し算はすでにあるから、『引き算』をどう扱うかを決めればよい。そのときに、z1 - z2 と z2 - z1の両方を考えることを、自然数自然数の直積として…というやり方をするよ、と書いてある
  • グロタンディーク群
    • 上記の自然数から整数を作る話は、可換なモノイドである自然数から整数と言うアーベル群を作ったことに対応する。この、『自然数から整数を構成する標準的な方法』を一般化したものが、グロタンディーク群(Wiki)
    • 代数構造の対応付けの一例
    • 次のK-理論に用いられることでコホモロジー理論につながる
  • K-理論
    • K-理論はコンパクト集合に対してもっとも簡単に定義できるコホモロジー理論がK-理論である
      • その低次元版であるK0は『函手 K0 は環 A を、直積の下のモノイドと見て、有限生成な射影加群の同型類の集合をグロタンディーク群へ写像する』と説明できる(K0(Wiki))
      • K1は『この定義を環の単元の群へ一般化した。K1(A) は無限一般線形群(infinite general linear group)のアーベル化である』と説明される(K1(Wiki))