論文Tropical Principal Component Analysis and its Application to Phylogenetics https://arxiv.org/pdf/1710.02682.pdf トロピカル演算と行列のトロピカル積とトロピカル行列式とグラフの最短距離計算 トロピカル演算,がある 行列の積にも同じように定義…

グレブナー基底は単項式順序依存 単項式順序を変えるとグレブナー基底が変わる よく言うグレブナー基底の単項式順序は、変数文字の辞書式順序 今、（例えば）３変数を取り、３変数に値を付与すると、3次元ベクトルが得られる この3変数に与えた値を使って、…

トロピカル演算では もしくはと言う これを極限形式で書くと max-plusの場合は min-plus の場合は、x,yを-x,-yに取り換えて min-plus, max-plusのいずれにしてもの方はhによらずになり、の方はmin, maxと値が分かれる x <- 2 y <- 3 h <- 2^(seq(from=-5,to=…

"Linear Spaces and Grassmannians" by Mateusz Michalek https://personal-homepages.mis.mpg.de/michalek/may08.pdf n次元線形空間の中にk次元部分空間をとる 全てのk次元部分空間のそれぞれを点として納めた空間がグラスマニアン Gr(k,n) このグラスマニ…

加群からはじめる代数学入門 線形代数学から抽象代数学へ [ 有木 進 ]価格: 2420 円楽天で詳細を見る 1 体上の加群(別名：線形空間またはベクトル空間) 2 一変数多項式環上の加群 3 環上の加群 4 有理整数環 5 一変数多項式環上の加群の計算理論 6 加群理論…

多項式の部分集合をイデアルに取る イデアルの要素多項式の零点集合が代数多様体V 例えば、という１つの多項式は、を零点集合とする 別の多項式の零点集合もである この零点集合を代数多様体 V とする Vからスタートして、Vのすべての点で零を取るすべての関…

空間を考えて、その空間上の関数を考えることがある という部分空間を考えて、その空間上の関数を考えることもよいだろう 今上の関数のすべてを対象にしつつ、同一視することで「つぶす」ことで同値類を取り、おのおのの同値類が、上の関数を代表しているよ…

格子点の集合を考える 格子点座標を変数の指数とすれば、格子点は単項式 格子点が作る図形(凸包と内部点)を考える どの格子点ペアが凸包の外周になっているかはわからないので、すべてのペアについて考えることにする 格子点ペアを結ぶベクトルは、「二つの…

https://arxiv.org/pdf/1902.03178.pdf

団代数・トロピカル代数絡みで多項式環を勉強している 多項式環には意義があるのだろうけれど、そもそもの動機とでも言うようなものが想像できなくて困っていた ここに、「ある条件で、ある代数曲線に接する多項式関数の集合」を例にして、「その集合」がど…

arxiv.org イントロダクション General Theory グラスマニアン 旗多様体・シューベルト多様体 イントロダクション トーリック多様体は、次元・自由度と言った幾何的な内容と、扇・多面体と言った組み合わせ論的な内容とを横断するトピック (トーリック/グラ…

トーリック多様体というのがある 幾何と組み合わせ論とをつないでくれるらしい 抽象化した概念なので、具体例からまとめていくと、うまくない点もある模様 そのような理由もあって、トーリック多様体の定義から入ると、何が何だかわからなくなるようだ とい…

Alex Postnikov: Dimers and Grassmannian: August 8 2020

V <- matrix(0,13,18) F <- matrix(0,15,18) E <- matrix(0,18,18) V[1,c(12,14,7,3,4,5,6,10,8)] <- 1 V[2,c(14,7,16,11,5,6,8,10,12)] <- 1 V[3,c(14,7,16,9,8,11,10,15,12)] <- 1 V[4,c(14,2,16,11,9,13,12,10,15)] <- 1 V[5,c(14,2,16,11,15,13,6,18,12)…

arxiv.org n個の点が円周上に配置されているとする その内部円板に有向グラフがあるとき、適当な変形を加えることで、3-valent有向グラフに変えることができる このグラフをplanar circular directed graphと呼ぶ さらに、3-valent有向グラフを3-valent bipa…

https://egunawan.github.io/combinatorics/notes/notes_plabic_graphs2.pdf arxiv.org このペイパーのp18の図は、Plabic graphから組み合わせ三角化・多角形化をしつつ、それをCoxeter membrane座標にしているもの。確かに、正n-gonの頂点ベクトルの組み合…

量子コンピュータによる機械学習 [ Maria Schuld ]価格: 4840 円楽天で詳細を見る 目次 監訳者まえがき 機械学習の基礎は高次元データ・線形代数・確率分布の計算であり、それを適切な精度で高速に計算するための近似を発展させてきた 量子力学では確率分布…

平面グラフではが成り立つ この式を変形してが得られる 頂点を１つ取り除き、面も１つ取り除くと、辺の数は、残った頂点の数と残った面の数の和に等しい、と読める 「等しい」ということを、「辺に対して、頂点もしくは面を一つ対応させると、完全マッチング…

辺の長さが１の正三角形２枚を貼り合わせる 1枚目の正三角形の頂点を,,に取り 2枚目の正三角形の頂点を,,に取る このとき、1枚目の三角形の2点,の中点と,の中点を結ぶ線分と 2枚目の三角形の2点,の中点とを結ぶ線分とが なす角との関係が知りたいとする 今、…

arxiv.org このペイパーに結び目のJones 多項式と団代数の話がある その中で、結び目が連分数と関係すること、蛇グラフが連分数と関係すること、その結果として、結び目が蛇グラフと関連することが書かれている そして蛇グラフは閉曲面上の三角化の団代数と…

zonotopeは平行四辺形の多次元版のようなもの あるベクトルについて、係数を取るとはline segmentになる 複数のline segmentsのMikowski和, がzonotope n.pt <- 6 d <- 2 vs <- matrix(rnorm(n.pt*d),ncol=d) #n.r.pt <- 10^4 #r <- matrix(runif(n.pt*n.r.p…

トロピカル代数では、２つの演算、積と和があるが、トロピカル積は、普通の和、トロピカル和は、最大値を取る、というルール トロピカル多項式 は これをRで計算して図示してみる x1 <- x2 <- seq(from=-1,to=3,length=50) x1x2 <- expand.grid(x1,x2) f1 <-…

二重確率行列と言う行列がある 正方行列であって、すべての行和とすべての列和が１であり、かつ、行列の全成分が０以上(０より大) 二重確率行列を確率推行列とする確率推移では全要素値が均一状態に収束する 二重確率行列は、置換行列の線形和 と表せて、と…

団代数をやっていると、Ptolemyの定理が出てくる 三角化の団代数では、円周上の４点ABCDについて、AC x BD = AB x CD + BC x ADという辺の長さの関係により、団変数の値の関係が論じられる 他方、Grassmanian(2,n) の団代数では、n角形の内部の三角化が論じ…

資料はこちら: https://arxiv.org/pdf/1005.1086.pdf 要素数nの集合の部分集合の族から全体と空集合を除くと、となり、その要素数は これのflag minorを考える flag minorとは、行が、部分集合、列は、元の行列の左詰めの列になったような正方行列の行列式の…