座標環 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

$k^N$ 空間を考えて、その空間上の関数を考えることがある
$V \subset k^N$ という部分空間を考えて、その空間上の関数を考えることもよいだろう
今 $k^N$ 上の関数のすべてを対象にしつつ、同一視することで「つぶす」ことで同値類を取り、おのおのの同値類が、 $V$ 上の関数を代表しているようにすれば、(形式的に) $V$ 上のすべての関数がいかなるものであるかが定まる
このような $k^N$ 上の関数の同値類が、環になるので、それを座標環と言うそうだ
以下のサイトの冒頭がわかりやすい

座標環は、多項式の同値類を定め、代表となる多項式が $V$ 上の関数に対応づく
今、 $k^N$ 空間の超平面 $x_i=a_i$ を関数と見て、 $V$ 上につぶすと、 $V$ 上の関数が現れる。これを $\bar{x_i-a_i}$ と書くことにする
ここで $<\bar{x_1-a_1}, \bar{x_2-a_2},...,\bar{x_N-a_N}>$ というイデアルを考え、 $V$ 上の点 $(a_1,...,a_N)$ と対応付けることにすると、多様体 $V$ 上の点が、それに対応するイデアルによって定まる多項式環と対応付けることができる
これがGeometry-algebra correspondenceというもの(らしい) -> こちら
この対応により、零点集合としての代数多様体の圏と可換環の圏との双対関係が取れる(らしい)
また、 $\bar{x_i-a_i}$ という $V$ 上の関数は、 $V$ によって定まる関数をつぶす写像に関して、カーネルに相当する( $V$ 上の関数なので、これを他の $k^N$ 上の関数に足してやっても、写像の行先に変化はないという意味で、カーネルになっている、と。
$V$ 上に「格子」を引いて「座標」を与えているので、「座標環」と呼ばれる由来かもしれない

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