イデアル、ラジカル - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

多項式の部分集合をイデアルに取る
イデアルの要素多項式の零点集合が代数多様体V
例えば、 $f(x)= x^2-1$ という１つの多項式は、 $\{-1,1\}$ を零点集合とする
別の多項式 $f_2(x) = (x-1)(x^2-1)$ の零点集合も $\{-1,1\}$ である
この零点集合を代数多様体 V とする
Vからスタートして、Vのすべての点で零を取るすべての関数を $I(V)$ と書いて、「Vが定めるイデアル」と言う
Vが $\{-1,1\}$ のとき、そのような関数は $(x-1)\times (x+1) \times g(x)$ という形をしている。ただし $g(x)$ は任意の多項式
したがって、「Ｖが定めるイデアル」は $<(x-1)(x+1)>$ となる
これは、 $f(x)= x^2-1$ が作るイデアル[tex:]とは一致するが、 $f_2(x) = (x-1)(x^2-1)$ が作るイデアル[tex:]とは異なる
このように、異なるイデアルから同じ代数多様体が得られるが、ある代数多様体をもたらすイデアルは一意には決まらない
「Ｖが定めるイデアル」としては、「Vをもたらすイデアルのうち、最大の集合」が「はっきりしていて」良さそう
それをラジカルと言う
$\sqrt{I} = I(V(I))$ と書いたりする
上の例では、 $<(x-1)(x+1)>$ がラジカル
sagemathでやっておく
- まず、めいっぱいのイデアルからそのラジカルと取り、両者を比較するべく、グレブナー基底を作って表示させてみる。「めいっぱい」の場合、両者は一致する

R = PolynomialRing(QQ,2,"xy")
x,y  = R.gens()
eqs = [(x^2-1)]
eqst = tuple(eqs) # リストをタプルにする
I = eqst * R 
B = I.groebner_basis()
B2 = (I.radical()).groebner_basis()
print("B")
for eq in list(B):
    print(str(eq)+",")
print("B2")
for eq in list(B2):
    print(str(eq)+",")

B
x^2 - 1,
B2
x^2 - 1,

- 次に、ラジカルに余計な項を掛ける
  - ぱっつんぱっつんではないので、ラジカルを取ると、最初のイデアルより「簡素な式」が現れる。言い換えると、ラジカルにはより多くの多項式が含まれることを意味する

R = PolynomialRing(QQ,2,"xy")
x,y  = R.gens()
eqs = [(x^2-1)*(x+1)]
eqst = tuple(eqs) # リストをタプルにする
I = eqst * R 
B = I.groebner_basis()
B2 = (I.radical()).groebner_basis()
print("B")
for eq in list(B):
    print(str(eq)+",")
print("B2")
for eq in list(B2):
    print(str(eq)+",")

B
x^3 + x^2 - x - 1,
B2
x^2 - 1,