ぱらぱらめくる『シューベルト計算入門』
- 昨日の記事で数え上げ幾何の本をぱらぱらめくった
- その中心はシューベルト計算
- それに関する、よりコンパクトにまとまったPDF:シューベルト計算入門をぱらぱらめくろう→こちらにグラスマン多様体とプリュッカー埋め込みについて、べたべたと詳しく書いて、その理解をRコード化したものをおいた。
- この資料(リンクはうまく張れないので、URLじか書き("https://icerm.brown.edu/materials/Slides/sp-s13-off_weeks/Schubert_varieties_and_Schubert_calculus_]_Sara_Billey,_University_of_Washington.pdf")はある程度概要がつかめた後での整理に有用
- この資料は長いが、長いだけに助かる
- 複素数全体の集合
- 次元複素ベクトル空間、
- の1次元複素部分ベクトル空間全体のなす集合をとする。またはと書く
- これは商空間であるので、個の複素数の比の全体ともいえる
- 結局であり
- ここでがk次元線形多様体であるとすれば、は0-k次元線形多様体のすべてを併せ持った集合ということになる
- は0-k次元の色々な幾何対象の集合であるので、その部分集合は何かしらの幾何対象になる
- ここで1個以上の斉次多項式の零点集合の形で表されるものを射影多様体(の部分射影多様体)と呼ぶ
- と表せる
- mこの斉次1次式で表される部分射影多様体があったとき、その係数が作る行列のランクがmであるとき、m個の斉次1次式は一次独立であると言い、その部分射影多様体は次元平面であると言う。m=0のときは0次元平面でありそれは点。m=1のときは1次元平面でありそれは直線
- 曲がったものは1次式以外で表されるもののこと
- ただ一つのd次斉次多項式の零点集合で表される部分射影多様体はd次超曲面と呼ばれる幾何対象である
- グラスマン多様体
- たとえば、内の4本の直線全てと交わる直線の本数を考える問題を例にとる
- まずないの直線の全体集合をとする
- ある直線と交わる直線は、このの部分集合であるから、と書くことにする
- 今、4本の直線と交わる直線はである
- ここでが大事な何かである
- このがグラスマン多様体
- グラスマン多様体はVのk次元部分ベクトル空間全体の集合のことになる
- それを行列で表すことができて、これは、基底の選び方による不定性があるので、その選び方で割る (商を取る)とグラスマン多様体となる
- 行列はだが、不定性の分を考慮すると分の重複があるから、結局の部分だけが自由であり、これが自由度に相当するから、結局、k次元部分ベクトル空間全体の集合としてのグラスマン多様体は次元複素多様体となる
- プリュッカー埋込み
- シューベルト多様体