ぱらぱらめくる『シューベルト計算入門』

幾何プリュッカーシューベルト数え上げぱらぱらめくるシリーズ

昨日の記事で数え上げ幾何の本をぱらぱらめくった
その中心はシューベルト計算
それに関する、よりコンパクトにまとまったPDF:シューベルト計算入門をぱらぱらめくろう→こちらにグラスマン多様体とプリュッカー埋め込みについて、べたべたと詳しく書いて、その理解をRコード化したものをおいた。
この資料(リンクはうまく張れないので、URLじか書き("https://icerm.brown.edu/materials/Slides/sp-s13-off_weeks/Schubert_varieties_and_Schubert_calculus_]_Sara_Billey,_University_of_Washington.pdf")はある程度概要がつかめた後での整理に有用
この資料は長いが、長いだけに助かる
複素数全体の集合 $\mathbf{C}$
$n+1$ 次元複素ベクトル空間、 $\mathbf{V}$
$\mathbf{V}$ の1次元複素部分ベクトル空間全体のなす集合を $\mathbf{P}(\mathbf{V})$ とする。または $\mathbf{P}^n$ と書く
これは商空間であるので、 $n+1$ 個の複素数の比の全体ともいえる
結局 $\mathbf{P}^n= \{[z_0:z_1:...:z_n] | (z_0,...,z_n)\ne (0,...,0)\}$ であり
$\mathbf{P}^n = \mathbf{C}^{n} \cup \mathbf{C}^{n} \cup ... \mathbf{C}\cup \mathbf{C}^0$
ここで $\mathbf{C}^k$ がk次元線形多様体であるとすれば、 $\mathbf{P}^n$ は0-k次元線形多様体のすべてを併せ持った集合ということになる
$\mathbf{P}^n$ は0-k次元の色々な幾何対象の集合であるので、その部分集合は何かしらの幾何対象になる
ここで1個以上の斉次多項式の零点集合の形で表されるものを射影多様体( $\mathbf{P}^n$ の部分射影多様体)と呼ぶ
$X= \{[z_0:z_1:...:z_n] \in \mathbf{P}^n | f_k(z_0,..., z_n) = 0,1 \le \forall k \le n\}$ と表せる
mこの斉次1次式で表される部分射影多様体があったとき、その係数が作る $n \times m$ 行列のランクがmであるとき、m個の斉次１次式は一次独立であると言い、その部分射影多様体は $n-m$ 次元平面であると言う。m=0のときは0次元平面でありそれは点。m=1のときは1次元平面でありそれは直線
曲がったものは1次式以外で表されるもののこと
ただ一つのd次斉次多項式の零点集合で表される部分射影多様体はd次超曲面と呼ばれる幾何対象である
グラスマン多様体
- たとえば、 $\mathbf{P}^3$ 内の４本の直線全てと交わる直線の本数を考える問題を例にとる
- まず $\mathbf{P}^3$ ないの直線の全体集合を $G$ とする
- ある直線 $l_i$ と交わる直線は、この $G$ の部分集合であるから、 $X_i \subset G$ と書くことにする
- 今、４本の直線と交わる直線は $X_1 \cap X_2 \cap X_3 \cap X_4 \subset G$ である
- ここで $G$ が大事な何かである
- この $G$ がグラスマン多様体
- グラスマン多様体 $G(k,V)$ はVのk次元部分ベクトル空間全体の集合のことになる
- それを $k \times n$ 行列で表すことができて、これは、基底の選び方による不定性があるので、その選び方で割る (商を取る)とグラスマン多様体となる
- 行列は $k \times n$ だが、不定性の分を考慮すると $k \times k$ 分の重複があるから、結局 $k\times (n-k)$ の部分だけが自由であり、これが自由度に相当するから、結局、k次元部分ベクトル空間全体の集合としてのグラスマン多様体は $k\times (n-k)$ 次元複素多様体となる
プリュッカー埋込み
- このグラスマン多様体は、 $k\times n$ 行列からk行を取り出す場合の数だけ $k \times k$ 行列を作り、それぞれのdeterminantを要素としたベクトルを同次座標とした $\mathbf{P}^{\begin{pmatrix}n \\k \end{pmatrix}-1}$ に単射で埋め込まれることが知られている
- この埋め込みがプリュッカー埋込みという
シューベルト多様体
- グラスマン多様体の部分多様体であって、0-n次元部分多様体の包含に着目して、その組み合せで定義される多様体がシューベルト多様体
- 定義式はおどろおどろしいが、(おそらく)4直線を通過する直線の数の代数計算などのことを考えたときに、定義しておくと有用な構成になっているものだと思われる
- そのような作りになっているので、もちろん、そのような用途にうまくいく計算方法や証明された事項などがある(模様)