ぱらぱらめくる『シューベルト計算入門』
- 昨日の記事で数え上げ幾何の本をぱらぱらめくった
- その中心はシューベルト計算
- それに関する、よりコンパクトにまとまったPDF:シューベルト計算入門をぱらぱらめくろう→こちらにグラスマン多様体とプリュッカー埋め込みについて、べたべたと詳しく書いて、その理解をRコード化したものをおいた。
- この資料(リンクはうまく張れないので、URLじか書き("https://icerm.brown.edu/materials/Slides/sp-s13-off_weeks/Schubert_varieties_and_Schubert_calculus_]_Sara_Billey,_University_of_Washington.pdf")はある程度概要がつかめた後での整理に有用
- この資料は長いが、長いだけに助かる
- 複素数全体の集合
次元複素ベクトル空間、
の1次元複素部分ベクトル空間全体のなす集合を
とする。または
と書く
- これは商空間であるので、
個の複素数の比の全体ともいえる
- 結局
であり
- ここで
がk次元線形多様体であるとすれば、
は0-k次元線形多様体のすべてを併せ持った集合ということになる
は0-k次元の色々な幾何対象の集合であるので、その部分集合は何かしらの幾何対象になる
- ここで1個以上の斉次多項式の零点集合の形で表されるものを射影多様体(
の部分射影多様体)と呼ぶ
と表せる
- mこの斉次1次式で表される部分射影多様体があったとき、その係数が作る
行列のランクがmであるとき、m個の斉次1次式は一次独立であると言い、その部分射影多様体は
次元平面であると言う。m=0のときは0次元平面でありそれは点。m=1のときは1次元平面でありそれは直線
- 曲がったものは1次式以外で表されるもののこと
- ただ一つのd次斉次多項式の零点集合で表される部分射影多様体はd次超曲面と呼ばれる幾何対象である
- グラスマン多様体
- たとえば、
内の4本の直線全てと交わる直線の本数を考える問題を例にとる
- まず
ないの直線の全体集合を
とする
- ある直線
と交わる直線は、この
の部分集合であるから、
と書くことにする
- 今、4本の直線と交わる直線は
である
- ここで
が大事な何かである
- この
がグラスマン多様体
- グラスマン多様体
はVのk次元部分ベクトル空間全体の集合のことになる
- それを
行列で表すことができて、これは、基底の選び方による不定性があるので、その選び方で割る (商を取る)とグラスマン多様体となる
- 行列は
だが、不定性の分を考慮すると
分の重複があるから、結局
の部分だけが自由であり、これが自由度に相当するから、結局、k次元部分ベクトル空間全体の集合としてのグラスマン多様体は
次元複素多様体となる
- たとえば、
- プリュッカー埋込み
- シューベルト多様体