1 行列の指数関数 行列リー群の例〜ぱらぱらめくる『Notes on Differential Geometry and Lie Groups』

• 行列の指数関数は、行列を掛ける、という計算を連続化する。指数関数の級数分解を行列に適用することによって
• 行列の指数関数を計算するには、固有値分解をして対角行列を切り出してその指数計算をする
• 行列を（連続的に）掛けるという演算が「閉じる」ことが群なので、行列の「動き」を空間的にとらえると、それは閉じた多様体
• これがリー群
• リー群にはリー代数が付随している
• リー群は多様体上を動くのに対して、リー代数は接空間の演算を与えている
• リー代数が接空間での計算で、それをぐいっとまげてリー群用にするのが、「指数関数によるマッピング〜Exponential Map」
• 多様体は曲がっているので、そこに微分を考えるとき、まっすぐな空間で定義された微分をそのまま適用できない。まっすぐな空間でなら微分は簡単。多様体にとってのまっすぐな近似は接空間。まっすぐというのは、ベクトル空間ということ。多様体の接空間では、[AB-BA]的な「外積」が対応するように、リー代数もそういう制約が入っている
• 直交行列と交代行列とに分解して考える。直交行列は(エルミート)転置が逆行列（乗法の逆元）、交代行列は(エルミート)転置が加法の逆元