高次元結び目と絡み目 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

昨日の記事で高次元結び目と絡み目のPDFをぱらぱらめくった
自分なりの言葉で整理しなおしておこう
結び目(knot)と絡み目(link)
- n-結び目とは、n+2次元空間にあるn次元の「閉じた多様体」の存在状態
  - 1次元多様体である線が単純に2次元空間で閉じると円。単純でなく閉じるとき、それは2次元空間には収まらなくて1+2=3次元空間に存在する
- n-絡み目とは、n-結び目の集合のこと
「閉じた多様体」
- どの方向に進んでも戻ってこられる。分岐もない(多分)
球の次元を「球の半分」を回転して1次元、高次の球にすること
- １つの点とは、1次元の球(1次元直線を空間とした、その部分 $x_1^2=1$ のこと)の「片側半分( $x_1^2;x_1 \ge 0$ と書ける)」もしくは、1次元の球を1箇所で切り裂いて半分の空間に押し込めたもの、とも言える
- それを $(x_1,x_2)=(1,0)$ と2次元空間に置き、さらにそれを第3の軸を中心に「回転」すると、 $x_1^2+x_3^2=1,x_2=0$ という円周が3次元空間に描けて、この円周は2次元の球のこと
- 2次元の球(円)の半分は角180度の円弧。これは、2次元球を1点で切り裂いて半分の空間に押し込めたもの、とも言える。これをぐるりと「回転」すると3次元球になる
- 以下、同様
「閉じる」方法
- 簡単な「閉じる」方法は上記のように回転すること
- 他にも「閉じる」方法はある。たとえば、三葉結び目は1次元球を半分空間に押し込んだもの(1点)を3次元空間でぐるりと回してもとに戻したものである。その「ぐるり」の回し方は、2次元平面上でだいたい戻ってきたときに第3次元がずれていて、もう1度ぐるりと回すと第3次元もうまく元の座標に戻るようなもの。戻りの周期が方向によってずれていることからその公倍数でようやく戻れる、という仕組み
結び目と球
- n次元結び目は(球のように)閉じたn次元多様体であって、上手くするとn+1次元に納まるのだが、上手くないと、n+2次元空間を必要とする
- n+2次元空間に納められたn次元結び目を１箇所で切り裂いて、n+2次元空間の片側半分に押し込み、その上で、ぐるりと「閉じる」方法を適用すると、再び結び目になる
- ただし、単純にぐるりと「閉じる」ときには、1次元余計に空間が必要となるだけだが、三葉結び目のようにぐるりと閉じると、余分な次元が必要となる
さて、これをRで実装しよう、というわけだが…
- わからないのは、「閉じる」ときに、ドーナツ的に閉じることと、trivialな結び目的に閉じることとの違い。違うのはわかるけれど、それが「何」なのか