ryamadaのコンピュータ・数学メモ

2014-04-16

正単体のメモ

正単体

$n$ -正単体は、 $n$ -次元空間にある、頂点数 $n+1$ の正単体
重心から頂点までの距離が1であるようなそれを考える
次元に-正単体を置くには、個のデカルト座標軸上にのように頂点を取ることで作成できる
- 重心は $(\sqrt{\frac{n}{n-1}}\frac{1}{n}=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}},...)$ であるので、確かにこの重心からの距離が1であることを確かめることは容易である
- このような $n+1$ 次元座標の正単体の重心を原点に移動すると…
- $(\sqrt{\frac{n-1}{n}},-\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}},-\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}},...)$ 、または $(\frac{n-1}{\sqrt{n(n-1)}},-\frac{1}{\sqrt{n(n-1)}},-\frac{1}{\sqrt{n(n-1)}},...)$ というような頂点座標になる

make.simplex.n1 <- function(n){
	ret <- matrix(-1/sqrt(n*(n-1)),n,n)
	diag(ret) <- (n-1)/sqrt(n*(n-1))
	ret
}

make.simplex.n1(4)

他方、次元にこれと同じ大きさの-正単体を置くと…
- ちなみに、 $n+1$ 次元座標だけれど、第 $n+1$ 番目の座標が0となるのも、 $n$ 次元に置いたことと同じなので、そのようにしてみる
- 回転行列を作る

# 正単体に関連する、ちょっとした関数
CategoryVector<-function (d = 3){
	df <- d - 1
	diagval <- 1:d
	diagval <- sqrt((d)/df) * sqrt((d - diagval)/(d - diagval + 1))
	others <- -diagval/(d - (1:d))
	m <- matrix(rep(others, d), nrow = d, byrow = TRUE)
	diag(m) <- diagval
	m[upper.tri(m)] <- 0
	as.matrix(m[, 1:df])
}
rotation.simplex <- function(k){
	cv <- CategoryVector(k)
	rbind(t(cv*sqrt(1-1/k)),rep(1/sqrt(k),k))
}
R <- rotation.simplex(4)
A <- make.simplex.n1(4)
R %*% A -> B
B
apply(B^2,2,sum)
t(B) %*% B