ryamadaのコンピュータ・数学メモ

正単体格子

正単体 R 格子

k次元立方格子は、相互に直交するk個の単位ベクトルを用いて $\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{x_i}$ (ただし $a_i$ は整数)が格子点を表す
似たようなことなので、k次元空間にある、頂点数k+1の正単体の頂点ベクトルを用いて、正単体格子の格子点の座標を表そう
$\sum_{i}^{k+1} b_i \mathbf{v_i}$ (ただし $b_i$ は整数)は、格子点である
立方格子と異なるのは $\mathbf{b}=(b_i)$ と格子点とか１対１対応ではなく、１つの格子点に複数の $\mathbf{b}$ が対応し得ることである
したがって、座標系とするには、その重複を排除するような条件付けをする必要があり、それができれば、１対１対応の座標系として適当となる
ちょっと違うけれど、「タイル張り」と似たような点もある
正単体頂点ベクトルの特徴は $\sum_{i=1}^{k+1} \mathbf{v_i}=0$
したがって、 $\mathbf{b_s}=(b_{s,i}),\mathbf{b_t}=(b_{t,i})$ は、 $b_{s,i}-b_{t,i}=b_{s,j}-b_{t,j}$ がすべての $i,j$ について言えるとき、同じ点に対応する
このことは、 $\mathbf{b_s}=(b_{s,i})$ を $\mathbf{b_s'}=(b_{s,i}' = b_{s,i}-min(b_{s,i})$ に対応させることで実現できる
付帯的なこと
上記のようにして一意性をとると、 $\mathbf{b}$ のk+1個の要素のうち、最低１個の要素は０である
また、 $b_i$ は非負
Barycentric coordinateに関係する(Wiki)