2017-07-21 ３ 環論の歴史 ぱらぱらめくる『抽象代数の歴史』 ぱらぱらめくるシリーズ 代数 抽象代数 群 環 体 環論のそもそも 非可換環論と可換環論の統合として環論が出来上がる 非可換環論は四元数から出来た 複素数はと可換なのに対して 四元数はと非可換 二次元のベクトル代数を三次元のベクトル代数に拡張 実数→複素数→四元数の方向性：超複素数系 八元数、外積環、群環、行列、双四元数 非可換の意識化 係数に「体」をとる、という考え方 べき等、べき零 環であってかつ体であるのか、環ではあるが体ではないのか 多元環 リー群と関係する環、リー環 イデアル・素イデアル R,C上の多元環と任意の体の上の多元環 可換環論は代数的整数論・代数幾何・不変式論から起きた 代数的整数論では、ルールを用いて「数を拡大」する。そのルールに可換環的が入れたかったので可換環論になった 代数幾何。多項方程式が代数曲線を定める。その様子を調べたい 代数曲線→代数多様体 代数多様体は多項方程式系を満足するものの集合 代数体から代数関数体へ 不変式論 不変式論は数論と幾何学の両方に起源がある 異なる係数の式が、変数変換で同じ式に相当するとき、それは不変式 幾何図形の性質の何かが変わらないとき、それは不変式で表される この「不変な式」とは何か自体を対象としたとき、それは代数学の１分野となった 非可換環と可換環との統合 難しかった、でも、やった、やったけれど、それほど実用的ではなかった？ 現在、諸分野が環論的に解釈されつつあり、整備途上(？） 群論における群環、表現論における加群、関数解析における作用素環、リー理論における包絡環、代数幾何における有限生成環・微分作用素・不変式論、整数論における整環・ブラウワー環、不変代数における環の多様体、ホモロジー代数における環のコホモロジー・射影加群・グロタンディック群・高次K群 環は群と体との混ぜ物的なにおいがする(感想)
