2 非可換幾何学入門 ぱらぱらめくる『非可換幾何学入門』

  • この章の目的は、以下を示すこと
    • 古典的な空間概念の定式化は、集合Xおよび、Xと実数直線Rとの関係から始められた
    • 解析学において、そのやり方には限界がある
  • 空間XとRとの関係の場合分け(とそれに登場する古典的概念)
  • 古典的観点(可換幾何学的観点)からは、扱いにくい(扱いかねる〜特異〜)空間Xを解析可能にするのが非可換幾何学の用途
  • そういうXからR(複素数Cでも)への面白い写像は存在しないが、複素数値関数のなす可換環の代わりになる非可換環を付随させることが非可換幾何学
  • 古典的概念の復習と、それらがX上の関数環によって代数的に定式化されていたことについての確認
  • 代数的K理論:"Algebraic K-theory is a subject area in mathematics with connections to geometry, topology, ring theory, and number theory. Geometric, algebraic, and arithmetic objects are assigned objects called K-groups. These are groups in the sense of abstract algebra. They contain detailed information about the original object but are notoriously difficult to compute"
    • 古典的な幾何対象は、コンパクト集合の圏。それが可換群上の連続写像へ、圏論的に対応づく(らしい)
    • これが、幾何と代数とのつなぎ方
  • と、ここまで本に沿って書いてみたけれど、そもそも、幾何と代数との関係がわかっていないので、Wikipediaの記載を見てみる(Wiki)
    • 図形・空間があって、その図形・空間を台とする関数の集合を考える
    • 関数同士に演算を考えると、関数を集合の要素として、関数同士の演算を演算とする代数構造を考えることができる。その代数構造は可換環なのだと言う
    • そして、この関数の代数系から、もとの図形の幾何学的特徴がわかるという
    • この幾何・図形・空間と代数との関係のこと
    • 非可換幾何では、関数が非可換環のときに、関数が定義された台の幾何学的特徴というものが、同様にわかりそうだが、その「幾何・空間・図形」って何?という話らしい
    • それについての記載がこちらにある
  • ある関数があったとする。その関数が{0,1}を返す関数だとすると、空間が二分されているという情報がわかる。同じ部分集合に含まれる「場所」はとなりかもしれないことを意味する。関数が実数直線Rを返す関数だとすると、空間に「軸」が入る。もう一つ別の関数があって実数直線Rを返す関数だとすると、空間に「別の軸」が入る。直交する軸だったりすると、元の空間はユークリッドっぽそうなこともわかる(?)。二つの関数の和を計算すると二次元平面的にはx+y=Cなる(直)線がどのように引かれるのかが判明する。二つの関数の積を計算すると二次元平面的にはxy=Cなる(曲)線がどのように引かれるのかが判明する。と、こんな感じなのだろう
  • どうして非可換幾何には無限が出てくるか、というと、すべての有限可除環は可換なので、可除環であって、非可換であるものを考えるには、無限が必要。このあたりが、ペンローズタイリングの01列が無限列である、云々と言う話とつながるらしい
  • ここまでやっても、やっぱり????。少し整理したい。特に、K-理論とか、コンパクト集合の圏から可換群上の連続写像の圏への反変関手、とか→こちら