2020-10-07

団代数と幾何的団代数とトロピカル代数

団代数幾何的団代数トロピカル代数三角化

団代数
- 団代数は、 $\Sigma = (x,p,B)$ という３つ組をシードとし、そのシードの一要素だけを変異させることで新たなシードを生み出して出来上がる、シードの相互関係に付随する代数構造である
- ちなみに、ある自然数 n があり、あるシードのxの要素数はn個であり、pの要素数は2n 個であり、Bはn x n 行列である
- 団代数を構成するには、coefficient groupと呼ばれる群 P がまず存在する。この群は可換群であるから、 $x^i y^j z^k$ のような要素がPの要素である
- 団代数を構成するには、このPに加えて環Zが必要である。PとZとを使って群環ZPを作る。Zは整数を要素としたものであるから、群間ZPは、整数係数単項式の和～整数係数多項式を要素とし、その和と積が定義された代数構造である
- ここで、Fなるものを定義する。Fは群間ZPに除算を加えた体である。要するに、整数係数多項式を分子と分母に持つ有理多項式を要素とする代数構造である
- 団代数のシードを構成する３要素のうちの１つであるx（団変数)は、この整数係数有理多項式の部分集合である
- また、p (団係数)は、群Pの要素であり、xの１要素に、２つの団係数が付随する。このことから、Pは係数の群と呼ばれる
- 最後に、変換行列Bは、整数要素の正方行列でSkew-symmetricに変換可能なものであるとされる
- シードの変異 $\Sigma(x,p,B) \to \Sigma ' (x', p', B')$ は(x,p,B)の要素のみで行うことができる変換となっている
幾何的団代数は三角化の全場合列挙に対応するような団代数であるが、上記のシード、P,ZP,Fなどに特徴がある
- その特徴に沿って説明する
- Coefficient group P に対応するのが $P = \text{Trop}(q_i : i \in I)$ と表記される"multiplicative group of Laurent monomials" in the formal variables $\{q_i : i \in I\}$
- これは、1,2,...,nと附番された変数 $q_i$ を要素とする、積演算の群であって、ローラン単項式の形をしているもののこと。要するに $q_i^{a_i} q_j ^{a_j} ...$ というような単項式のことなので、一般的な団代数のcoefficient groupとあまり違わないが、 $q^a$ としたときのaが負でも良いところが異なる(ようだ)
- 次に、群環ZPに相当するものが欲しい。ZPは整数係数多項式であったが、ここで、単項式を足し合わせて多項式にするときの「足し合わせ～加算」にトロピカル加算を用いることにする
- $\Pi_i q_i^{a_i} \oplus \Pi_i q_i^{b_i} = \Pi_i q_i^{min(a_i,b_i)}$ と言うように
- これにより、整数係数多項式に相当するものが、相変わらず単項式になる
- Fに相当するものは、整数係数多項式に相当していたが単項式になったものの有理式に置き換わる。これは体的なものであるが、この体的なものをトロピカル半体と呼ぶ
- 幾何的団代数でもシードは三つ組み $\Sigma = (x,p,B)$ である
- 団変数xはFの要素でありトロピカル半体であるので、ローラン単項式
- 団係数qはローラン単項式集合Pの要素である
- 変換行列はskew-symmetric可能行列となる
幾何的団代数とタイヒミューラー空間座標
- 幾何的団代数では、ある団変数 x が与えられたとき、n個の変数がある。そのn個の団変数がそれぞれ、ローラン単項式である
- また、団係数もqの要素も|I|個ある　(n個？）。これもローラン単項式
- これらのローラン単項式のそれぞれの値が正の実数になっているから、n + |I|個の正の実数セットがとれる。そして、あるシードのxの附番を決めれば、団変数の入れ替えをしても、附番ルールに迷いは生じないから、正の実数ベクトルとしてとりあつかえる
- この正の実数ベクトルを、幾何的団代数シードが作るn正則グラフというトポロジー空間の座標とする
- この正の値をとる高次元座標は、曲面にpuncturesを取って、そこに作りうる三角化と対応し、それが作るトポロジカル空間をTeichmullerとし、個々の三角化の座標をlambda lengthで与えたものとなるという
- これが、三角化の幾何的団代数の座標化と、そのTeichmuller space座標化との対応である