ぱらぱらめくる『コホモロジーのこころ』

コホモロジーのこころ

• 目次
  • まえがき
  • カテゴリーと関手
    • 数学の舞台、カテゴリー
    • カテゴリー論の大黒柱、米田の補題
    • ずっと行った先が帰納的極限、すっと戻った先が射影的極限
    • カテゴリーと前層
  • コホモロジー代数
    • 使われているすべてのコホモロジーは、みな導来関手
    • 数学(に)自然に現れるスペクトル系列とは
    • スペクトル系列三羽烏に何ができる
    • コホモロジーを取らずにコホモロジーを捕らえる
    • コホモロジー論の作りなおし
• コホモロジー代数史とその展望
• まえがき
  • コホモロジーの定義は
  • ある圏(カテゴリー)に、対象があったときに、という射での結び付きがあるとする。の『本質』は、Zに無関係であって(kernel)、による影響の商を取ったものだという
  • ある興味ある対象があったとき、それを扱う『圏』を考える。そのままだと、数学的に扱いにくいので、(アーベル群の)圏に対応付ける。ただ、対応付けるだけではなくて、『うまく埋め込む』。そうすることで、興味ある対象の本質がkernelとimageの商のようなものとして捉えられる
  • その埋め込みに活躍するのが『米田の補題』
• カテゴリーと関手
  • 数学の舞台、カテゴリー
    • 圏に対象があり、対象は射で関係づく
    • アーベル群の圏と言ったら、その圏の対象Xがアーベル群で、その同じ圏の別の対象Yもアーベル群、ということ。その二つの対象、二つのアーベル群の間で、うまい関係(があれば、それを準同型写像と言う。そんな準同型写像を持つアーベル群の圏を考えたりする
    • 位相空間を考えるときは、要素があり、それらには包含関係が定まっている。それを圏論的に考えると、包含写像を射として持つ、位相空間の圏ができる
    • 圏はかなり自由な枠組みだけれど、恒等射は必要。また、圏を関手で写した(移した)先で、射の作用の順番の定義の仕方によって、共変関手と反変関手とに分けられる
    • 特に、この話の中で、対象Xから対象Yへの射の集まりを考える。これを考えると、「射の集まり〜射の集合」を考えることとなり、「(射の)集合」を対象とする圏が立ち上がる。元の対象たちが所属する圏と、「(その対象間の)(射の)集合」を考える圏とは、別の圏であるが、相互には関係があるので、それを結ぶことができて、これは関手
    • そして、圏の対象間の射の集合を考えること、集合の圏が登場することが、コホモロジーの話では大事で、その大事なこと(射の集合、集合の圏)について重要な事実が米田の補題。米田の補題は圏論的議論・証明として重要だけれど、その証明が大事であることよりも、ある圏の射の集合を扱うこと、それをうまいことやって、アーベル群の圏に埋め込んで、結果として、興味対象と興味対象の射とを代数とそのkernel imageとその商関係(コホモロジー)で扱えることが「コホモロジーのこころ」
    • いくつかの用語など
      • 圏とその反圏(射の向きが反対)
      • 共変関手と反変関手
      • 二つの圏を結び付ける関手が複数あるときに、それらの間に自然な変換が存在する
      • 圏の部分である部分圏。それが充満であるという性質。忠実な関手・充満な関手
      • 表現。埋め込み。前層に埋め込む
      • この辺りは、こちらにある、言葉での説明がわかりやすい
  • カテゴリー論の大黒柱、米田の補題
    • ハスケルで学ぶ米田の補題
  • 関手の極限
    • 関手が限りなくどういう関手になるかについての定義。関手を対象にして考えるときに代数的に扱うためにはこんな定義が必要ということか？
  • カテゴリーと前層
    • こちらによれば、圏からSetsへの反変関手を対象として、それらの間の自然変換を射とする圏を考えると、この圏が前層の圏
    • 位相空間に認められる包含関係の射に対して、前層の圏を考えることがコホモロジー的に位相空間を代数で扱えることを表す
• コホモロジー代数
  • コホモロジーが取れるとはが意味を持つとき。のこと
  • この関係が連綿と続いてほしくなることにより、双対鎖複体 (cochain complex)になっていて欲しい、という話が出てくる
  • で、あれーと思っているうちに、組み合わせ構造(単体的複体)・それが現れる外微分とかとのつながりが出てくる