ここがミソ〜全体の計算を周辺の計算に〜わたしのための微分幾何と離散微分幾何・離散外積代数

• 離散微分幾何・離散外積代数の何がわからないか、って、それは
• 正単体(に擬せた空間)の微分積分処理が、どうして、chain complex, cochain complexの上げ下げになるの？
• ということ
• たしかに
  • chain complex, cochain complexは単体的複体という構造と相性がよい、し
  • 微分積分という階段とも相性がよい、し
  • 外積代数の層構造とも相性がよい、ので
• そうなってもおかしくないけれど
• どうして「単体」の「全体」の処理が、「単体」の「周辺」の処理になるのか、そうすることで何が嬉しいのか、と言う点
• それは
  • 離散微分幾何が、「多様体の幾何的特徴」に興味があって
  • 「多様体の幾何的特徴」は、長さ、面積、体積がごくごく基本で、さらに、grad rot div laplacian、とかが大事なわけだけれど
  • grad rot div laplacianは、座標非依存な幾何学的特徴である、ということを考え始めると
  • 「全体での積分」は「周辺での積分」に書き換えられる、というストークスの定理にまとまることが知られており
  • 離散版でも、「全体」に関する計算が「周辺」に関する計算になるとよいことになる
• この特徴との整合性から、「単体的複体」としての「多様体離散化版」「幾何量の機械的計算」「塊と周辺」「正単体をR加群へ写像」というのがちょうどよくて、それがchain cochainだ
• 確かめてみると、「外積代数」でつじつまが合うよ、という風に覚えておけば、(ストークスの定理を忘れるほど忘れっぽくても)忘れないで済みそう