遺伝学・遺伝統計学関連の姉妹ブログ『ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ』
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駆け足で読む『2017-06-11』@とあるはてなダイアリー

球面 微分幾何 代数 リー代数 球面調和関数 Diracの方法
  • 資料はこちら
    • ぱっと見て、「わかりたい内容」が書いてあることまでは、わかる
    • 読んでもすぐにはわからないこと、もすぐわかる
    • ということで、駆け足で丁寧に単語を確認することにする
  • 球面上の測地流：測地線が引ける状況があってそこにベクトル場がある
  • 余接空間：多様体には接空間が張り付く。接空間で内積を計算するための関数の集合(ベクトルの集合)が取れる。それが余接空間。微分形式で言えば１次の微分形式微分幾何資料、微分形式にひきつけての自分のメモ書き
  • 測地流が余接空間を相空間とする：余接空間(１次微分形式)を基底として測地流が定義できる
  • 関数環：関数が環になっている。加算と乗算ができる関数たち
  • Poisson代数：ハミルトニアン力学から導かれる代数で、かなり、「ふつーの」性質を持っている代数(ポアソン代数Wiki)
  • Poisson括弧：ハミルトニアンで「計算したくなる二項演算」
  • Diracの方法とDiracの括弧：Poisson括弧を一般化して制約があるときに対応させる方法とその対応する二項演算
  • Euclidean Lie algebra：ユークリッド空間の変換を群と見て、そこに認められるLie代数。ユークリッド空間のことなので、なじみやすく、群だとかそういう抽象代数なしでも結構わかるのがユークリッド空間の対称性や変換
  • 全射準同型：とてもよい対応関係が取れていること。２つの群の間で、台を対応付ける関数で話が着く、単純な関係にある
  • 量子化した代数：量子化するとは、「古典力学が無限小を許していた」のに対して、「量子力学」は「構成単位」がある世界の記述なので、それに合わせて改変した代数のこと。量子化するにあたり(物理学的に)にちゃんとするには、正準量子化という改変をする。それに対応する代数の改変
  • 普遍展開環の何らかの商：ちょっと良くわからないが、離散化しているということは、連続な台を区分して、区分ごとに１点に対応付けることになるので、それが「商」を取ることに対応するということだろう。また、リー代数に交換子括弧積[x,y] = xy - yxを考えるとリー環になるそうで、任意のリー環には普遍展開環が対応づく(リー環(Wiki))ので、このように言えるようだ
  • ここまでをまとめると
    • 球面上のベクトル場を考えて、それを量子化することは、わかりやすいユークリッド空間での変換を群論的にとりあつかって、商をとるという制約を入れることになる
  • 第２・３・４パラグラフ
  • 既約ユニタリ表現：リー代数は要素を行列に対応付けることで、ベクトル空間とそこでのベクトル演算として取り扱える。そのリー代数の「表現」であって、既約っていうのは、その代数が部分的に閉じたりしないで「全体としてひとつ」であることを言う(たぶん)(既約表現)
  • Wignerの方法：量子力学での離散的エネルギー状態の「表現」方法Wignerの分類
  • little group：G_x = \{g \in G | g \cdot x = x\}
  • この辺りから、手足がでなくなりつつある
  • $Spin(N+1)$はスピン群？それとも回転群？
  • 特定の要素を動かさないような$Spin(N+1)$の部分集合は$Spin(N)$だ、と言っている(原点以外は)
  • coadjoint orbit：リー群の要素を線形変換だとみなそう、というのがAdjoint representation。そうすると要素たちが多様体を作ったり軌道を作ったりする。群・環をユークリッド空間での線形変換で表現することにすれば、そこに全射準同型がある、云々とつながってくるので、幾何学的な捉え方が可能になる。Simplectic geometryっていうのはこのあたりの話。adjointに対してcoadjointは双対。どうして双対が出てくるかというと、双対空間、余接空間の実体を扱いたいから。測地流は余接空間(微分形式)を使う話だったので、coadjoint orbitを扱う枠組みが必要になる
  • T^* S^2と微分同相…O(a,b) = \{(x,p)|x^2 = a, x\cdot p = b\}：x^2=aは円、x \cdot a=bは内積を与えている〜１次微分形式
  • 群の準同型とか、その分解(T^* S^2はその例)：どうしてこうしたいのか？っていうそもそも論はこちらの冒頭にあるように、「群論」は、そういう風に「要素とその組み合わせにしたい〜既約表現探し」をする体系だから、と言ってしまえばよい
  • 分岐則：そのように分解するルールが分岐則(Branching rules)
  • 既約表現を見つけて、その既約表現でのスペクトル計算ができる、ということが、解けるということ
  • それが簡単にできるのは分岐則が明らかな時
  • 簡単にできない場合について、どうやるかについての話が続く
  • Yangian
    • Hopf代数の無次元化したもの(の何か)
    • Hopf代数は双代数(代数かつ余代数)であるという。何かしらよくできた裏表が同じ代数ということだろう
  • W-algebra： W-algebra is a structure in conformal field theory related to generalizations of the Virasoro algebra。そしてVirasoro algebraはis a complex Lie algebra, the unique central extension of the Witt algebra。で、Witt algebraは is the Lie algebra of meromorphic vector fields defined on the Riemann sphere that are holomorphic except at two fixed points
  • Conformal field theory：量子力学で出てくる話。invariant under local conformal transformations。その代数が低次元ならきれいにできているけど、高次元になると大変なので、このはてなダイアリーページが扱うように、既約とか分岐則とか、Yangianとかで扱わんとしているよ、とそういう話。
  • ちょっと気になる幾何代数と情報幾何