ryamadaのコンピュータ・数学メモ

2011-09-27

5. Clifford代数とスピン群駆け足で読む『数学をいかに使うか』

数学駆け足で読むシリーズ

駆け足で読む『数学をいかに使うか』の目次はこちら
n次元線形空間Vにな関係を持たせる
- Vの２要素の関係を問題にしている(線形であることも、２要素の足し算の話)
- 要素のペアに関することは、行列で取り扱える
- 行列で扱えば、 $\phi(x,y)=\phi(y,x);x,y\in V$ は対称行列として現れる
- Vを張る基ベクトルは次元の数nだけある
- Vの要素のペアが作る「世界〜環」を張る基ベクトルは $2^n$ になる
- これは、Vの基ベクトルn個を0からn個、重複なしで選ぶ選び方に相当する
- 選び方とするのは、交換してもよいから
  - すると、交換してはいけない場合には基ベクトルの数は無限になるということか…
このようにの基ベクトルを持つ代数がClifford 代数
- (見方によっては)外積代数はClifford 代数の特別な場合
- Clifford代数的な考え方とSNPはこちら
Clifford代数からClifford群へ話題は移って、そこから直交群(ノルムを変えない線形変換の行列がなす群)や特殊直交群(そのうちdeterminantが+1の方のみ)の話へ進み、いつの間にやら、Hermite行列のこととか、対角成分の $\pm 1$ の話とかになって行ってしまっている
幾何的には、ノルムを変えないということの他に対称性とかn-1次元超平面とかにつながって話が展開している
また、「二重被覆」(被覆はこちら)とかでスピン群との関係が登場する
- 二次形式、二次形式と内積