ぱらぱらめくる『幾何学と代数系』その2

  • 以前、ぱらぱらめくったことがある(こちら)。

2年数か月前。

  • もう一度めくってみる
  • 2年数か月とは、関連知識の量が違うので、見えて来る風景も違いそう
  • 序論
    • 代数学とは、記号に演算を定義する数学の方法
    • 幾何学において、幾何学的対象に記号を定め、それらの間に演算を定義すると、それは幾何学のための代数学
    • ハミルトン代数・グラスマン代数・クリフォード代数は、そんな代数
    • それらが、ベクトル解析・テンソル解析、線形代数行列計算に特化した。それは、実応用からの要請であったが、「記号、演算」で記述するという「計算機言語・プログラミング言語」のためには、ハミルトン代数・グラスマン代数・クリフォード代数もよい点がある
    • 直交→直交でない:計量の登場→テンソル解析
    • 要素を、相互に共役な要素で両側からはさむ、という「演算形式」は幾何学的代数の基本:三次元回転が共役四元数ペアによるサンドイッチであるのはその例(ハミルトンの四元数代数)
    • クリフォード代数。幾何学的代数の数学的構造を表すもの
      • 内積:ハミルトン代数
      • 外積:グラスマン代数
      • 幾何学積(クリフォード積):内積外積幾何学積として定義できる
      • ハミルトン代数とグラスマン代数とを統合してできた代数
    • ベクトル解析。物理学のために簡略化・抜粋純化したもの
      • 内積
      • ベクトル積
      • スカラ三重積
    • ユークリッド幾何の代数