わたしのための微分幾何と離散微分幾何・離散外積代数

  • 微分幾何があって、その離散版が離散微分幾何・離散外積代数
  • 離散微分幾何・離散外積代数は何をするのか
    • よくある例としては
    • 三角形を貼り合わせた2次元メッシュが3次元空間に埋め込まれている場合と、四面体をつなぎ合わせてできた3次元オブジェクトが3次元空間の一部を占拠している場合とがあって
    • それらの角度・長さ(それを使えば面積・体積も)を埋め込んだ/存在している3次元実数ユークリッド空間の測度で計算する
    • メッシュやオブジェクトを一般化すれば単体的複体、埋め込み先の実数ユークリッド空間の次元は任意、としたものが、一般的な離散微分幾何・離散外積代数
  • 微分幾何の色々を離散版にするのだが、基礎になる部分の離散化をして、そこから、連続版の手続きにならって離散版を作る、という作業になる
  • したがって、「連続版での基礎になる部分」「連続版での基礎から作られる部分」「基礎の離散化」がわかればよいことになる(こちらのイントロを参考に)
  • 基礎
    • 微分形式
    • ベクトル場
    • オペレータ
      • 微分形式に対する処理
        • exterior derivtive 外微分(d)、codifferential(\delta)、ホッジスター(*)
      • 微分形式を組み合わせる処理
        • ウェッジ積(\wedge)
      • ベクトル場と微分1形式とに対する処理
        • フラット(b)、シャープ(#)
      • 微分形式とベクトル場を組み合わせる処理
        • contraction operator(ix)
  • 基礎からの派生させられるもの
    • Lie derivativeとその離散版、divergenceとその離散版、Laplace-Beltrami operatorとその離散版としてのLaplace-deRham operator、など