斉次グラフ
- 次数3の斉次グラフ(
)
- 2頂点間に1本のエッジしか引かないものとする。エッジの2頂点は異なるものとする
のノードを三角形と見立てれば、三角メッシュに相当する
- 四面体は頂点数4の完全グラフであって、
である
- 正八面体は頂点数6の
である
- 頂点数 n の
はいくつあるのだろう…
- こんな風に考えてみる
を頂点数
の
の個数とする
- 今、
は
のグラフに1個の頂点を加え、エッジの付け替えをして、
にすることにより達成するとする。そんな漸化方式で考える
- 1個の頂点を加え、それの次数が
であるとき、
のノードからk個のノードを選ぶ。選ばれた
個のノードと新く加えるノードとにエッジを引くとともに、選ばれたノードから、それぞれ1本のエッジを除去したい
- エッジを1本除去すると、エッジの両端のノード2個からそれぞれエッジが除去されるので、
が奇数だとうまくない
- では、ノードを2つ加えることにする。
本のエッジを選び、そのエッジはいずれもノードを共有していないようにする。結果、
本のエッジ、
個のノードが選ばれ、
本のエッジを取り除き、各々のエッジの両端ノードを加える2ノードのそれぞれにエッジを繋ぐ。どちらの端のノードをどちらの新規ノードに繋ぐかは場合わけになる
- このようにすることで、ノード数が奇数の
集合からノードを2つ増やした
集合が作れて、偶数から次の偶数のそれが作れる
- これが、悉皆性を保証しているならば(まだ確認して居ない)、これによって、数え上げ、
は求まりそうだ
- 等面積曲面の離散表現としての、斉グラフのバリエーション
- 今、ノード数
の
があったとき2個のノードを加えたのち、2個のノードを除去することを考える。ノード数nの
が二つ得られる。各ノードが合同の正三角形であるとすれば、何かしらの閉曲面を表している。2つの閉曲面表現としての
は辺のつなぎ代えとして表現できるだろう。これが「離散的閉曲面変形」の1表現ではないだろうか?
- 今、ノード数