4 Random curves and loop ensembles ぱらぱらめくる『Universal Randomness in 2D』

  • 4 Random curves and loop ensembles
    • 4.1 Schramm-Loewner evolution: basic definitions and phases
    • 4.2 Definition of SLE(_\kappa (\rho))
    • 4.3 Loop erased random walk and uniform spanning tree SLE曲線である種の酔歩を木が説明される
    • 4.4 Critical percoration interfaces パーコレーションの説明としてのrandom curves
    • 4.5 Gaussian free field level lines ランダムな曲面を表現するためにSLE曲線
    • 4.6 Ising, Potts, and FK-cluster models 量子力学分野の説明に援用
  • を-4.7 Bipolar orientations ??? スピン、スピノル???
    • 4.8 Restriction measures, self-avoiding walk, and loop soups 特徴のある曲線とそのSLE的特徴づけ??
    • 4.9 Conformal loop ensembles SLEと共形変換をつないで何かする??
    • 4.10 Forward and reverse radial SLE _\kappa SLE曲線を2次元に広げるために(?)
  • 4.1 実軸上の駆動酔歩関数が決めるSLE曲線
    • SLE曲線は1次元酔歩が決める2次元平面曲線だが、「共形変換的に不変なランサム曲線であって、1パラメタによるもの」とも定義できて、その1パラメタはカーブがどれくらいぐねぐねしているかをおおまかには定めたものである
    • Loewner のODE(ordinary differential equation 常微分方程式)を解くとSLEの駆動函数が得られる。それは標準ブラウン運動\sqrt{\kappa}を掛けたもの
    • 何の微分方程式か、と言えば、共形変換の時間発展を表した微分方程式。それがブラウン運動的な時間発展だ、ということ
    • SLE曲線は、そのときのブラウン運動の位置(実軸上)がその共形変換で「戻す」と複素平面のどこに対応するかの軌道に相当する
  • 4.2 別の定義のSLE曲線
    • Loewner equationを使いつつ、駆動函数をあるLoewnerの常微分方程式の解ではなくて、偏微分方程式の解で置き換えて定義する
    • これは7章でGFFとSLEをつなぐ章で出てくる偏微分方程式である
    • 詳しくは7章で、となるが、簡略化すると…
    • 普通のSLE曲線の駆動函数が普通のブラウン運動(の定数倍)であるのに対して、ベッセル過程の確率微分方程式の解を登場させる。ベッセル過程は任意次元でのブラウン運動を、その距離に着目して1次元化したもの
    • ベッセル過程も使いつつ、そのベッセル過程が寄って立つところの任意次元空間の動きも使う。その両方を使うと、くだんの7章の偏微分方程式の解だという
  • 4.10 Forward and reverse radian SLEk
    • 曲線を始点から伸ばすか、曲線を縮めて始点に戻すかの違い
    • 共形変換を起こしながら戻す
    • 共形変換の発展微分方程式はある関数で書かれるが、その関数は、現在の共形変換関数と、e^{iWt}のような、指数にiとブラウン運動の定数倍とが入るような形になる