1 Random processes　ぱらぱらめくる『Universal Randomness in 2D』

1 Random processes
- 1.1 きほんのき、ブラウン運動
- 1.2 ベッセル過程　多次元ブラウン運動の距離評価
- 1.3 Brownian excursion ブラウン散歩, meanders ぶらぶら歩き、bridges ブリッジ。少し特徴のあるブラウン的動き
- 1.4 Stable Levy processes 連続性にする
- 1.5 Continuous state branching process 枝分かれを入れて、酔歩次元を上げる
- 1.6 Ranges of stable subordinators ??
1.1
- ブラウン運動、正規分布
- 伊藤の公式、マルチンゲールrepresentation theorem、Local martingale, quadratic variation、Girsanovの公式
1.2 ベッセル過程
- 多次元のブラウン運動の始点からの距離の変化量はブラウン運動を使った式で表せる
- 原点からは必ず正方向に増えるので、確率微分方程式で書くと $dX_t = dB_t+\frac{\delta -1}{X_t}$ のように、t=0では飛び出し部分が $\frac{1}{X_t};X_0=0$ のように効いてくる。遠くに行くと、遠ざかり方は緩やかになる。
- ベッセル過程のこの確率微分方程式の、 $\mu dt$ の項があると、「増えるか減るか」が定方向になる。それはマルチンゲールでないことになる。では何がマルチンゲールなのか、と考えると、 $X_t^\alpha=\delta-2$ がそうなると示せる。これを使って $\delta$ の値によって0に収束するのか、無限遠に行ってしまうのかが別れることも示せる
1.5 Continuous state branching processes はnon-negative Levy processesと１対1対応付けられる
- Branching processというのは、遺伝子をこどもに伝達するように、「確率の担い手」が分岐するような現象での、集団での遺伝子の分布を扱うようなもの。世代を離散にすればGalton-Watsonでそれを連続性にしたということ(らしい)