ぱらぱらめくる『伊藤清と確率論(数学セミナー2015Sep)』

• 来月は伊藤清生誕100年記念シンポジウムも開かれますが、数学セミナーも伊藤先生特集
• シンポジウムで少しでも実りがあるように、数セミレベルで勉強しておくことにする
• 伊藤清先生の生涯とその遺産
  • • コルモゴロフ、レヴィ、伊藤
  • レヴィ-伊藤の分解定理
  • 大数の法則、エルゴード定理
  • コルモゴロフの公理、測度論、確率変数・確率空間、可測空間、分布、確率過程
  • 増分が独立で定常分布をなしているときに得られる「動き」が見本(標本)関数)で、それがレヴィ過程。動きが連続であるようなレヴィ過程はブラウン運動(ジャンプがない)で、ブラウン運動の中で増分にさらに制約を入れた標準ブラウン運動がウィーナー過程
  • レヴィ過程は無限分解可能なので、フーリエ変換できて、そうすると、そのスペクトル分解をもたらす自己相関関数っていうのがあって、レヴィ過程って、「そういうものなんだ」という解釈もできる
  • 今にしか依存しない、マルコフ過程とその一つである拡散過程
  • それを説明する微分方程式と確率微分方程式
  • 確率積分
  • 確率微分幾何学、マリアバン解析
  • 確率制御理論、数理ファイナンス、数理生物学、統計物理モデルとSLE理論
  • 幾何的特性とそのスピードの微分の積
  • 出発点に戻ってくる確率過程：エクスカーション
• ディリクレ形式における伊藤の公式：福島分解
  • 半マルチンゲール（局所マルチンゲール＋有界変動関数）
  • 伊藤の公式は局所マルチンゲール部分と有界変動部分を特定する
  • マルチンゲール部分とそれ以外とに分けることができる・ことがある（その分解は一意：福島分解）
  • ディリクレ形式（偏微分しないで測度空間に定義できる、ラプラシアンのようなもの（ラプラシアンを一般化したもの）
  • ラプラシアンなので、「場」みたいなものがあって、規則的な運動（確率過程を除いた部分のよう?) が定まる。それに確率過程を乗せれば、場における確率過程になる。そんな話らしい
• 一次元拡散過程
  • 単純な系にて調べられるいろいろな側面について項を立てつつつかいてある
  • 消滅する・死点
  • 境界条件
  • 局所時間（どのくらい同じあたりにとどまるか）と時間変更（により極限について調べることができる）
  • スピード測度とスペクトル測度とを結ぶクレイン理論
  • 拡散過程の極限定理から正則変動性を導く逆問題を研究できる
  • レヴィ過程
  • 周遊理論（エクスカーション）
  • 逆正弦法則（負け続け・勝ち続けの法則）
• 幾何への応用
  • 多様体上の確率微分方程式
  • ラプラス-ベルトラミ作用素
  • ストラトノビッチ型確率微分方程式
  • 多様体上のランダムな曲線とそのトポロジー
  • 経路空間上の汎関数（ウィーナー汎関数）
• ランダム行列と無限次元確率微分方程式
  • 干渉ブラウン運動（多数の粒子が運動する様子を記述する）
  • 自由ポテンシャルと干渉ポテンシャル
  • 無限次元にすると「熱力学第二法則」みたいになる
  • 有限次元にすれば、古典的確率微分方程式を持ち込める
  • ポテンシャルが特異的になるとやっかいになる
  • 流体力学が出てくる
  • バーガーズ方程式
  • ナヴィエ-ストークス方程式
  • 干渉ありブラウン運動（Sine-beta干渉、エアリー干渉、ベッセル干渉、ギニブレ干渉）
  • いくつかの特異ポテンシャル
• 伊藤確率解析学と数理ファイナンス
  • 連続時間資産運用モデル
  • デリバティブ価格付け理論
  • 最適投資・消費問題
  • 情報系フィルとレーション（時間とともに増えてゆく情報に関る話）

• ぱらぱら後の感想
  • いわゆる物理現象としての拡散は、確率過程としての拡散軌道関数の「集合」
  • すべての拡散軌道関数が相互に独立であると仮定するのは、自由気体の拡散
  • 軌道間に相互作用が発生すると、流体力学
  • 反応拡散系にもItoの公式を持ち込める
  • 胎児発達にKPZ(Kardar-Parisi-Zhang)が持ち込める

• • 流体と関係してくる