- 今、これが一番知りたい・・・。細目次も佳境感満載…
- 5 Random surfaces
- 5.1 Planar maps 平面グラフ
- 5.2 Decorated surfaces and Laplacian determinants グラフラプラシアンとspanning treesの数
- 5.3 Mullin-Bernardi bijection 何か使いやすい道具を使いたいということか？
- 5.4 Cori-Vauquelin-Schaeffer bijection 上に同じ
- 5.5 Hamburger-Cheeseburger biijection さらに
- 5.6 Bipolar bijection さらに
- 5.7 Brownian map 平面グラフを木構造として、それを酔歩的に
- 5.8 Liouville quantum gravity 量子物理分野での…
- 5.9 KPZ(Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov) scaling relations 2D の何かしらのランダム過程
- 5.10 Quantum wedges, cones, spheres, and disks 量子力学？？ 離散的な考え？？
- 5.11 Quantum boundary length measures
- 5.2 Decorated surfaces and Laplacian determinants
- GFFをUniforl spanning tree (UST)モデルで見ようというとき、その対応関係がどうなるか、というと、GFFのラプラシアンがあって、それのdeterminantが結ぶという単純な関係がある
- 離散で考えるなら、グラフを考えればよく、曲面は平面グラフになるが、そのラプラシアンは、隣接行列に似ている。隣接行列との違いは、対角成分に次数ｘ（−１）が入っていて、行和が0に調整されたものになっていること（これに(-1)を掛けたものがグラフラプラシアンというのが一般的)(Laplacian Matrix)
- このグラフラプラシアンを使うと、Spanning treesの数が解る
- グラフラプラシアンの固有値の１個は０だが、それ以外の固有値(正)の積をノード数で除したものがspanning treeの数。別の算出法としてはグラフラプラシアンの1行１列を取り除いた行列のdeterminantを計算してもよい
library(igraph)
for(ii in 1:100){
n <- sample(3:8,1)
p <- runif(1)*0.9+0.1
tmp <- matrix(0,n,n)
for(i in 1:(n-1)){
for(j in (i+1):n){
if(runif(1) > p){
tmp[i,j] <- tmp[j,i] <- 1
}
}
}
g <- graph.adjacency(tmp,mode="undirected")
plot(g)
D <- diag(degree(g))
L <- -(tmp - D)
L
print(c(det(L[-1,-1]),prod(eigen(L)[[1]][-n])/n))
}
- 5.4 Cori-Vauquelin-Schaeffer bijection
- ルートを持つ四角での埋め尽くした(四角化した)平面グラフは、spanning treeに１対１対応づけることができる
- 5.7 Brownina map
- Cori-Vauquelin-Schaeffer bijectionのScaling limitによって連続なランダムな測度空間が定義できるらしい
