ぱらぱらめくる『絶対数学』

絶対数学

• ひとまず目次
• 序章　高校生にもわかるリーマン・ゼータ入門
• 第１章　絶対数学の起源
• 第２章　絶対数学の目的
• 第３章　絶対数学の基礎
• 第４章　絶対テンソル積
• 第５章　絶対ゼータ関数
• 付録１　群ともの意図とF1代数
• 付録２　ラマヌジャン予想について
• 付録３　絶対空間論について
• あとがき
• 数論の大問題に向かって絶対数学を書いた本
• 数論の大問題への興味はひとまずおいておいて、「そもそも」絶対数学って、というところをぱらぱらする
• 『絶対数学とは一元体上の数学』
• 標数：代数系を分類・整理
  • 『乗法の単位元１を、加法的に繰り返し演算していったときに、何回加えたら加法の単位元０に等しくなるかという、その回数』
  • 普通の数体系『整数環、有理数体』ではいつまでたっても等しくならないから、標数０
  • 整数論の研究は標数ごとに構成されてきて、異なる標数を越えて類似が見つかる
  • 標数０とそれ以外との違いは係数体の存在
• 一元体：『元が１つである体』
  • ただし、体は、加法の単位元（０）と乗法の単位元（１）とで構成するから、『元が１つである体』はある意味で矛盾
  • その矛盾のつじつまを合わせるのが、『０』という『加法的にないもの』『乗法的に吸収するもの』に対して、『無：０でもなく、そもそも無い』という元のような元ではないようなものを取り入れて、『元が１つである体』としたもの
  • 『空気のようにその存在に気付かないもの〜０』に対して『本当に存在しないこと〜真空』のようなもの
• 人類の算術の進歩が、足し算からスタートして掛け算を追加したものとすると、その発想では、「掛け算があるときには、足し算は前提されている」という状態になる
• その逆で「掛け算を先に見出して、まだ足し算を見出していない算術世界」を想定する。それが一元体（らしい）
• 環を中心とした数学
  • 積と和がある
  • 代数・幾何・解析も積と和で構成されていた
  • 積と和でできた世界（環）は微分されてベクトル場を作る
  • 整数環は微分すると０になる…。微分を使った諸道具が使えない（使いにくい）
• 環からモノイド（乗法群に0元を付加したもの）へ
• p44の図３．２が大事な図
• (R,x,+): 積とを和を持つ環
• そこから積がなかったことにすると、(R,+)となって加法群
• 和がなかったことにすると、(R,x)となって、モノイド
• (R,+)から+を取り去ったり、(R,x)からxを取り去ると(R)だけになる。これはただの集まりで集合
• 圏論で考えると(R,x,+)と(R,+)とは、Z環の圏とZ加群の圏とに対応づく。その伝で、モノイド（R,x)はF1(一元体）の圏で、集合(R)はF1加群の圏…
• 一元体F1の代数、乗法モノイドMn(F1)の元は、n=3のとき以下のようになる