メモ

• 保型表現とGalois表現
  • ガロア理論以前の代数学〜方程式論：変数とその多項式とその四則演算と未知数を解くこと
  • 「解く」ことの意味の変化
  • 根の間の有理的な関係の構造が、方程式の根が生成する拡大体のガロア群によって記述されていることから、拡大体とそのガロア群の理解に変化
  • 表現論の重要性は、「非可換・非線形」な対象を理論上線形化すること(必ず体系的に解ける唯一の問題としての連立一次方程式)
  • (その重要な)線形代数
    • 線形写像。次元が不変量。n次元ベクトル空間
    • 対象・射の具体的表示を提供
    • 加法群の構造
      • 部分対象・商対象・核・像・余核・余像・準同型定理・直和・完全系列：Abel圏
      • (短)完全系列は分解し、結局、１次元の対象の有限個の直和に分解できる
      • 代数的閉体上の話なら、簡単なベキ零元の和という標準形に直せる
    • 内部テンソル積・内部Hom・双対対象が定義できる：テンソル圏・淡中圏
    • その他の操作(対称積、外積(非対称積))など、べんりなものも定義できる
    • さらに、制約を強めた圏(行列式・内積・交代形式・エルミート形式)なども定義できる
      • それらは特殊線形群・直交群・斜交群・ユニタリ群などになっている
    • 線形でないものを線形化するのが「線形化函手」：位相空間・多様体の件から線形代数の圏へ(コホモロジー理論)、空間上の関数の貼り合わせ・ベクトルバンドルの理論、微分形式・多様体上の調和解析(Hodge理論)
    • 解析学の線形微分方程式の解空間はベクトル空間、ヒルベルト空間論・フーリエ解析も無限次元線形代数
  • 『表現論』とは「線形代数の一般化」(線形代数でないものを線形代数に持ち込むための一般化)
  • で、まあ、類体論とかになるわけですが、たとえばドラクエから類体論
• このような対応が「関連」「因果関係」「予測」「推定」に持ち込まれる可能性があるのか、ということと、そうなったときに、「解る」とは何か、ということについて、「？」