微分幾何とリー群・リー環・リー代数 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

微分幾何とリー群・リー環・リー代数のことを説明してもらった
リー群、リー環、リー代数の説明はあっちこっちにあって数学的定義の部分で膨らんで、結局、何ナノ？となるが、今日の話は分かりやすかった。その目でWikiのリー群・リー環・リー代数・微分幾何の記事を拾い読みして並べてみる
『リー群（リーぐん、英語：Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。』(リー群記事の冒頭)
『体上のリー多元環は、括弧積をもつベクトル空間であると述べることもできる。』(リー環記事の冒頭)
『K-線型空間 V があるとき、この自己準同型全体は K 上の結合的多元環であり、したがって上節で見たようにこれはリー環となる。』(リー環記事のいくつかの例の説明)
『微分幾何における重要な例として、可微分多様体の滑らかな左不変ベクトル場全体はその交換子を積とすることによりリー環を成す。』(リー環記事のいくつかの例の説明の第２パラグラフ)
『とくにリー群 G にはそのようにして得られるリー環 Lie(G) が付随する。リー群に付随するリー環はそのリー群の局所構造を決定する重要な役割を果たす。これらの対応関係はあまり分りやすいものではないが、行列からなるリー群（線型代数群） G に対しては行列の指数函数によって与えられる指数写像を用いることによりその関係を簡明に記述できる。』(リー環記事のいくつかの例の説明の第２パラグラフ)
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そもそも、この勉強を始めたのは「情報幾何」として「確率分布」が作る多様体に関する記述を理解するため(こちら)
多様体を理解するには、多様体上での「距離」を測ること(計量)と、多様体上の「移動」ができること(接続)との２つが大事だそうだが、この「接続」とは
『数学における接続とは、多様体上に定められた様々なファイバー束について、ファイバーの間の平行移動を与える微分方程式的な概念である。この項では特にリー群を構造群とする主束の接続について解説する。主束の接続を決めることは、束の全空間の接空間のなかで構造群の作用によって不変な「水平な方向」を定めること同じである。』(接続(Wiki)の冒頭)