何度目かわからないけど再度、微分形式

• ３次元空間にある２次元多様体の離散外積代数扱いしている
• 今、４次元に上げたい
• そうすると、３次元でうまく説明されていたことを一般化して了解する必要が出てきて、そうすると、何がわかっていないのか(ある意味ですべて)がわかってくる
• とにかく、何がわからないかっていうと、２次元多様体は「想像」できるけれど「４次元空間に置かれた３次元多様体」というのが「見えない」し、「３次元多様体」として広がる「４次元物体の表面」というのが「見えない」
• さて
• 滑らかなm次元多様体
  • 局所がm次元平面とみなせるもの
  • この局所にあるm次元平面を接(ベクトル)空間と言う。接ベクトル空間は、m個の線形独立なベクトルが張っている
• 余接空間
  • 余接空間は接空間の双対空間
• 双対空間
  • 双対空間は元の空間の線形写像(元の空間のベクトルの一次線形和にスカラーを与える写像)の集合
  • 双対空間の元(元の空間の線形写像)は、ベクトルでもあるが、これを余ベクトル(共変ベクトル)と言う
  • うまく双対空間の基底をとると、元の空間の基底ベクトルのただ一つに対して１を返し、それ以外には０を返すようなそれが取れる
  • このようにしておくと、元の空間のベクトルと余接空間のベクトルの間でスカラーを返す「内積」が、同一のベクトル空間の内積と同じようになる
  • 元の空間と双対空間とは同次元
• 以上より
  • m次元多様体があるときに、m次元接空間が多様体の各点に張り付けられていて
  • その各点のm次元接空間には対応するm次元余接空間(双対空間)がある
  • 結局、m次元多様体を考えるときに、m次元接空間とm次元余接空間(双対空間)との併せて2m次元のことを考えることになる
• 関数と0次微分形式と1次微分形式
  • 多様体上のスカラー関数は0次微分形式。それの余接ベクトル場(余ベクトルの線形和)が1次微分形式
  • 2次以上の微分形式は、1次微分形式ｘ1次微分形式が2次微分形式、のようになっているのだが、この「掛け算ｘ」について、外積代数を用いるとうまく閉じるので、それを使うことにすると、交代微分形式と呼ばれる微分形式のひとつとなる(閉じないようにするのはテンソル積を用いるものだったりする)
• 外微分・ホッジスター
  • 外微分はベクトル空間で微分形式の次数を一つ上げる
  • 外微分は余接空間でも微分形式の次数を一つ上げる(これは対応する元のベクトル空間の次数を一つ下げる)
  • ホッジスターは元のベクトル空間のk次微分形式を余接空間のm-k次微分形式に対応付ける