ぱらぱらめくる『曲面と多様体』の曲面 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

作者: 川崎徹郎
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 2001/10/01
メディア: 単行本
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2 曲面論を読む
2.1 曲面の定義
- 2.1.1 いろいろな曲面
  - まず、平方格子を描くための準備

my.kousi <- function(x=c(-5,5),y=x,p=10,q=50){
	X1 <- seq(from=x[1],to=x[2],length=p)
	Y1 <- seq(from=y[1],to=y[2],length=p)
	X2 <- seq(from=x[1],to=x[2],length=q)
	Y2 <- seq(from=y[1],to=y[2],length=q)
	tmp1 <- expand.grid(X1,Y2)
	tmp2 <- expand.grid(X2,Y1)
	return(rbind(tmp1,tmp2))
}

plot(my.kousi(),pch=20,cex=0.1)

- - 3次元空間にある連続な部分空間としての曲面
  - 式で表せる曲面、表せない曲面
  - 閉曲面：有界で境界のない曲面
  - 向きつけ可能・不可能
  - 種数
  - 連結和
- 2.1.2 曲面のパラメタ表示
  - - ３つの $C^r$ 関数 $x_i(u,v);i=1,2,3$ で表されている
    - vを固定してできる曲線をu曲線、uを固定してできる曲線をv曲線と言う
    - u曲線： $x_u(u,v)=\begin{pmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial u}(u,v)\\ \frac{\partial x_2}{\partial u}(u,v)\\ \frac{\partial x_3}{\partial u}(u,v) \end{pmatrix}$
    - v曲線： $x_u(u,v)=\begin{pmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial v}(u,v)\\ \frac{\partial x_2}{\partial v}(u,v)\\ \frac{\partial x_3}{\partial v}(u,v) \end{pmatrix}$
  - $C^r$ 曲面片とは、このようなパラメタ表示ができる曲面の一部
  - $C^r$ 曲面とは、曲面編の貼り合わせ
  - 球面ののパラメタ表示
    - 経度・緯度パラメタ
    - - $x_1(u,v) = \cos{u}\cos{v},x_2(u,v)=\cos{u}\sin{v},x_3(u,v)=\sin{u}$
      - u曲線、v曲線は偏微分すればよい
      - u曲線： $x_u(u,v)=\begin{pmatrix} -\sin{u}\cos{v}\\ -\sin{u}\sin{v}\\ \cos{u}\end{pmatrix}$
      - v曲線： $x_u(u,v)=\begin{pmatrix}-\cos{u}\sin{v}\\ \cos{u}\cos{v}\\ 0 \end{pmatrix}$
        
        u曲線とv曲線は直交している(内積が0)
      - パラメタ表示があれば、格子を使って絵が描ける

my.sphere <- function(x=my.kousi()){
	u <- x[,1]
	v <- x[,2]
	return(cbind(cos(u)*cos(v),cos(u)*sin(v),sin(u)))

}
library(rgl)

plot3d(my.sphere(my.kousi(x=c(-pi,pi),p=10,q=200)))

- - 楕円面

my.ellipsoid <- function(x=my.kousi(x=c(-pi,pi),p=10,q=200),a=1,b=2,c=3){
	tmp <- my.sphere(x)
	return(cbind(tmp[,1]*a,tmp[,2]*b,tmp[,3]*c))
}

el <- my.ellipsoid(my.kousi(x=c(-pi,pi),p=10,q=200))
plot3d(el,xlab="",ylab="",zlab="",xlim=range(el),ylim=range(el),zlim=range(el))

- - 螺旋面

my.rasenmen <- function(x=my.kousi(),a=1){
	return(cbind(x[,1]*cos(x[,2]),x[,1]*sin(x[,2]),a*x[,2]))
}

rm <- my.rasenmen(x=my.kousi(p=20,q=500))
plot3d(rm,xlim=range(rm),ylim=range(rm),zlim=range(rm))

2.2 接平面と第１基本形式
- 接平面S
  - u曲線とv曲線の接ベクトルはSに接する( $C^r$ 曲面Sに含まれる $C^r$ 曲線の速度ベクトルを接ベクトルと言う
  - ある点での接ベクトル全体を接平面と言い、この接平面は確かに「平面」になっている
  - ある点を通る２つ曲面上の曲線があれば、その曲線の接ベクトルが張る平面が接面になる
  - その２つの接ベクトルの外積が法線ベクトルになる
  - １次形式
    - 曲面上の点 $(u_0,v_0)$ があり、そこの接平面を二つのベクトル $x_u(u_0,v_0),x_v(u_0,v_0)$ が張っているとき、接ベクトル $z$ は、この二つのベクトルの１次結合で表せる。そのことを
    - $z = du(z) x_u(u_0,v_0) + dv(z) x_v(u_0,v_0)$ と書くことにする
    - $dx = x_u(u_0,v_0) du + x_v(u_0,v_0)dv$ とも書く
- 第１基本形式
  - 接ベクトル $z$ に対して、その３次元ユークリッド空間での長さの２乗を対応させる関数gを考える
  - このgを第一基本形式と呼ぶ
  - 曲面Sがu,vでパラメタ表示されているときgはdu,dvの関数で表すことができる
  - $g(z) = (dx(z),dx(z)) = (x_u du(z) + x_v dv(z),x_u du(z) + x_v dv(z))$
  - $g(z) = (x_u,x_u) (du(z))^2 + 2(x_u,x_v) du(z)dv(z) + (x_v,x_v)(dv(z))^2$ となる
  - これを読むと、曲面のu方向偏微分の伸び縮みの具合とu方向偏微分の伸び縮みの具合に、u方向とv方向が直交したままか、そうでないかによる項( $\cos{\theta} = \frac{(x_u,x_v)}{\sqrt{(x_u,x_u)(x_v,x_v)}}$ を加えたものが第１基本形式であることがわかる
  - したがって、第１基本形式はuv平面をどう伸縮して曲面を作るかを指定している量になっていることがわかる
  - ちなみに $g_{11} = (x_u,x_u),g_{12}=(x_u,x_v),g_{22}=(x_v,x_v)$ と書く
  - 球の経度・緯度パラメタ表示の場合
    - - $x_1(u,v) = \cos{u}\cos{v},x_2(u,v)=\cos{u}\sin{v},x_3(u,v)=\sin{u}$
      - u曲線： $x_u(u,v)=\begin{pmatrix} -\sin{u}\cos{v}\\ -\sin{u}\sin{v}\\ \cos{u}\end{pmatrix}$
      - v曲線： $x_u(u,v)=\begin{pmatrix}-\cos{u}\sin{v}\\ \cos{u}\cos{v}\\ 0 \end{pmatrix}$
    - $g_{11}=1,g_{12}=0,g_{22}=\cos^2{u}$ なので
    - $g=(du)^2+\cos^2{u} (dv)^2$ となり、正方格子を曲げて球面を作るとき、u方向には長さは変わらず、v方向には $\cos^2{u}$ に応じて縮む。角度は変わらない、ということが解る
- 等温パラメタ
  - パラメタu,vの取り方はいろいろあるが、次を満足するようなパラメタを等温パラメタと言う
  - $g_{11}=g_{22},g_{12}=0$
  - これは、正方形を(そのサイズに変更はあるかもしれないが)正方形に写す場合
  - 例として懸垂面を次のようなパラメタで表したものがある
    - $x=\begin{pmatrix} a\cosh{u}\cos{v}\\ a \cosh{u}\sin{v}\\ au\end{pmatrix}$

ct <- my.touoncatenoid(x=my.kousi(x=c(-pi,pi),p=50,q=500),a = 10)
plot3d(ct,xlim=range(ct),ylim=range(ct),zlim=range(ct))

- - 曲面の伸び縮みと形
    - 第１基本形式が同じでも異なる曲面がある
    - これは、(ある平面を伸縮させて作った)素材の伸び縮み具合と、それを３次元空間に埋め込む方法とは別のことであることを示している。第１基本形式は、布を伸び縮みさせた新たな布を規定し、３次元埋め込みは、それのディスプレイの仕方を決めていることを表す
  - このあと、曲面が３次元空間に置かれた状態から出発し、その法線ベクトルの変化量などを使って(ガウス写像)第２基本形式について述べる。そして、その３次元空間における曲面の曲率(平均曲率とガウス曲率)を定めるが、実際、このガウス曲率は、３次元空間においた状態ではなく、びらびらした布に関してすでに定まっている、埋め込みに依存しない位相不変量であることが示される(驚異の定理)
  - このことは、「曲面」の本質は、第１基本形式〜ガウス曲率というものと、それの「見え方」としての埋め込みというものとに分離できることが解る
  - 多様体的には、埋め込みのことを忘れることも多い(らしい)ので、前者が中心になるが、「形」に興味があるときは後者も大事になる
  - しかし、「形」に興味がある、というときに、本当に、後者にも興味があるのかどうかは、よく考え直す必要があるだろう
- ガウス写像と第２基本形式
  - ガウス写像とは、点 $x(u,v)$ に、その点における曲面の単位法線ベクトルを対応付ける写像のこと。単位法線ベクトルへの写像なので、 $S^2$ 上への写像ということになる
  - $x_u,x_v$ の外積を使って決められる
  - 第２基本形式とは、ある点の単位法線ベクトルが、その接平面上のベクトルをとったときに、上に反っているか、下に反っているかの情報を与える
  - 具体的には、単位法線ベクトルが、ある接ベクトル方向にみたときに、そのように変化しているかを考える。この単位法線ベクトルの変化ベクトルは接平面上のベクトルになる。今、接平面上のある方向で考えているときに、そのベクトルと、その方向での単位法線ベクトルとの内積を取ると、上に反っているか、下に反っているかが、内積の正負で決まる
  - ある点において、全方向で第２基本形式の値が負であれば、そこは下に曲がり、正であれば、上に曲がり、正負の両方の場合があるときは、鞍のような場所であることになる
  - これを[tex:\phi = -(dx, dn)=-(x_u,n_u)(du)^2 - *1dudv - (x_v,n_v)(dv)^2]と書く
  - この式は次のように書き換えることができる
  - $\phi = (x_{uu}, n) (du)^2 +2(x_{uv},n) du dv + (x_{vv},n)(dv)^2$
  - これは、接ベクトルの空間変化と法線ベクトルの空間変化との内積が、接ベクトルの空間変化の空間微分(接ベクトルの空間２階微分)と法線ベクトルとの内積であることを利用した、式変形になっている
  - 結局、第２基本形式は、曲面上のある点について、接平面上のあるベクトル $z=(u-u_0)x_u + (v-u_0)x_v$ を与えた時に $\phi(z) \sim 2 h(u,v)$ (２次の近似、 $h(u,v)$ は曲面の座標の法線方向の変化量)を与えていることが示せる。要するに局所でのある方向の曲りの程度を与えている
  - 第１基本形式が $g=g_{11}(du)^2 + 2g_{12} dudv + g_{22}(dv)^2,g_{11}=(x_u,x_u),g_{12}=(x_u,x_v),x_{22}=(x_v,x_v)$ と書けたのに合わせて第２形式を書くと、 $\phi = H_{11}(du)^2+2H_{12}dudv + H_{22}(dv)^2,H_{11}=(x_{uu},n),H_{12}=(x_{uv},n) ,H_{22}=(x_{vv},n)$ となる
  - ここで、 $n=\frac{x_1 \times x_2}{||x_1 \times x_2||}$ に注意すれば、 $H_{ij}=\frac{det(x_ij,x_1,x_2)}{||x_1 \times x_2||}$ と書ける
  - さらに $||x_1 \times x_2||^2 = (||x_1||^2||x_2||^2-(x_1,x_2)^2=g_{11}g_{22}-(g_{12})^2$ なので
  - $H_{ij}=\frac{det(x_ij,x_1,x_2)}{||x_1 \times x_2||}=\frac{det(x_{ij},x_1,x_2)}{\sqrt{g_{11}g_{22}-(g_{12})^2}}$
  - このことより、第２基本形式(ある方向の曲りの程度を表す式)は、座標の１階微分( $x_1,x_2$ )と２階微分( $x_{ij}$ )のベクトル(それぞれ３次元ベクトル)が作る３ｘ３行列のdeterminantを、第１基本形式を定める要素(座標で言えば１階微分、座標がなくても、局所の伸び縮み情報でもある)が決める値で除したものであることがわかる

*1:x_u,n_v)+(x_v,n_u