ブラウン散歩はCRT『私のためのBrownian map構成法』 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

ブラウン散歩は、0から出発して0に戻る酔歩であって、正の値のみをとっているもの
特に、 $0 \le s \le 1$ の時間範囲に限定したものがNormalized Brownian Excursion(標準ブラウン散歩)
今、時刻s,tにおける位置を $e_s,e_t$ のように書くことにしとする
という値を、時刻sと時刻tとの「ブラウン散歩の意味での距離」と定義する
- $s=t$ のとき $d_e(s,t=s)=0$ だし、
- s,tの間の値が、すべて $e_s,e_t$ 以上である場合も、 $d_e(s,t)=0$ であるから
- ブラウン散歩で原点に近づく向きに動いている経路は、必ず、原点から遠ざかる経路とペアになって $d_e(s,t)=0$ なる点とペアになっている
結局、原点0から出発し、原点0に戻るような「木」が得られる
円周の弧をあちこちでつぶして木を作ったようなものでもある
このつぶした円周は、「円だったとしたら時計回りに回る」ような動き方を「木の上」で行うことができて、それは、木の外側をなぞりながら木を一周するものに相当する
$T_e: S^1/\sim _e$ と書いて、単位円 $S^1$ を、ブラウン散歩 $e$ という意味での点の同一視関係 $\sim_e$ によって商を取ったものが、CRT $T_e$ ( $e$ というブラウン散歩によるCRT木である、と読む
ブラウン散歩では、時刻パラメタ $0 \le s \le 1$ があった
$T_e$ は木であるので、その上の点 $a \in T_e$ のように書ける
ブラウン散歩とそれに対応するCRTとの間には、次のような対応付けマッピングがある
- 特に、木の上の一つの点 $a \in T_e$ には $p_e(u_1) = a, p_e(u_2) = a$ のように、複数の $0 \le u_i \le 1$ が対応づく。さらに特に、 $T_e$ 上で枝分かれするところでは3個(以上)の $0 \le u_i \le 1$ が対応する
木の周回弧とそれに対応する、ブラウン散歩の時間セグメントの関係は次のように定める
- 木の上の二点 $a,b \in T_e$ があるとき、 $a$ から $b$ へと木を時計回りに周回することを考える。周回なので、木の枝のこちら側かあちら側かの区別ができるので、複数の周回の仕方がある
- それは $p(u_a1)=p(u_a2)=a$ 、 $p(u_b1)=p(u_b2)=b$ とで考えれば、 $u_a1-> u_b1, u_a1-> u_b2,u_a2 -> u_b1, u_a2 -> u_b2$ の４通りがあるようなものである。この４通りについて、 $0 \le u_*i \le 1$ なる時刻パラメタで考えたときの最短時間を、 $T_e$ 上の2点の時計回りの弧と定め、 $[a,b]$ と書くことにする。
- $[b,a]$ と木の上の2点を入れ替えると、ルートノード(s=0に対応する点)を通過するような周回路が対応する
- この $[a,b]$ は、次の記事での、ラベル付けされたCRT上の2点間の距離の定義で使用する