私のためのソボレフ空間

• ソボレフ空間っていうのは
  • 関数を空間上で変数表現して扱うための空間で
  • 変数表現して扱うというのは、微分積分が多変量世界で自在にできることが大事となるから
  • リーマン積分では制約が大きかったのをルベーグ積分で突破したのを皮切りに、いろいろと自然な拡張として突破する
  • そのときに、「空間に配」される関数が収束する、とかいうことを考えるときには、「関数が『並ぶ』」必要があり、「関数列」「無限関数列」とかが登場する
  • いわゆる空間における関数の扱いとしての「解析」を「関数たち」を解析的に扱うべく拡張したものであるが、そのアプローチは「解析」だから、写像とか、逆写像とか、ノルムとか、完備なノルムであるとかが重要で、じゃあ、関数のノルムって何、とか、偏微分するときには、というと、関数に関する「内積」のようなものが登場したりして来て、関数の自己相関やら、カーネル関数やら、畳み込みといった道具も登場する
  • また、せっかく関数を扱うのだから、何が大事で何は些細なのかとかに関するもろもろの調べものも大事で、そんなところに注意を払った定理とか補題とかが重要で
  • そういう「背景」を押さえたうえで、使うと、非線形関数とか、「普通」にやろうとするとやっかい至極なものも、「ほーらこんな風に」と『言ってもいいこと』がエッセンス的に引き出せる(その途中で言えないことがあるわけだが、途中が言えなくても最後が言えていると便利なことはあるし、そのように途中を言わずに最後を言うっていうのは『道筋』を変えて取り組むことのメリットであり、そんなメリットが構成されるものとしてソボレフ空間はある、と。
• そうしてみると、Wavelet transformとsobolevとで検索をしたり、non-linear とsobolevで検索したり、approximation とsobolevとで検索すると引っかかるものがいろいろあることに気付く