2014-07-12

ぱらぱらめくる『変分問題入門』

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変分問題入門―非線形楕円型方程式とハミルトン系

作者: 田中和永
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 2008/08/07
メディア: 単行本
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関数を少しずつ動かしてその変動によって、「何か」の変化がなくなるところは、「関数」に関する微分法・極点探索のようなもの
それを行うのが変分法
そのような関数を少しずつ動かすときの関数が配置されている空間が、「関数」のベクトル空間(ソボレフ空間とか)
そのような「関数を動かしたときに変化するかしないか」を問題にするとき、その「変化量」は実スカラーだから、「関数が配されているベクトル空間」に定義された「実スカラー」を返すものが「汎関数」。とは言っても、「汎関数」も「関数の一種」
「関数」は、台になる空間から、写像先の空間が必要で、「●から」「○へ」の「●と○」とにそれぞれバナッハ空間を考える
さて、このテーマに異なる登山口が設定できるようだ
- 『変分問題入門』では、この話のスタートとして「●から○へ」のバナッハ空間のペアとそこの間を取り持つ関数を採用している。また汎関数も関数であるから、基本的には「関数とその極点探し」として話を進める
- 「物理のかぎしっぽ」の変分法の記事では、汎関数から入り、「汎関数」は $I(x,y,\frac{dy}{dx})$ と言うようにさだめ、「関数の集合」に焦点を当て、「関数の集合」を扱う仕組みとしての汎関数を「その形状」の特徴に焦点を当てて話を進める。汎関数を変分法で(特に物理現象での実用を前提として)積分することを念頭に置いたところをスタートとしている
- 「Mathworld」での汎関数は、「入力」と「出力」の定義づけを冒頭文に出している(Functional analysisは「関数解析」と訳すけれど、「関数」の「解析」なのか「汎関数」-「解析」なのか、と言えば、「汎関数」-「解析」な側面も強いのではないだろうか…)
一般的な汎関数とその「極値」探索を考えてもよいけれど、どうして「かぎしっぽ」ではという形の汎関数を取り出したかを確認する
- それは「極値」を求めることが、オイラー方程式を解くことに帰着させられるから
- オイラー方程式に帰着させるためには、さらに条件が必要(または便利)で、その条件とは、考えているすべての関数が、 $I$ に関して「周辺」で同じであるという条件(周辺条件)のこと
- こうしてやると、の「極値」をもたらす「点〜関数」とは、に関してどんな風に微小変化しても極限では「微分が0」であるべきであるという論理を持ち出すことができて、結果として、「微小変化がどんな風」かという部分と、「それ以外がどのような挙動」か、という部分の積に分解できて、「任意の微小変化のしかた」で成立させるために、「それ以外の挙動が0であるべき」という条件が導かれる。これがオイラーの方程式
  - $\frac{\delta f}{\delta y}-\frac{d}{dx}(\frac{\delta f}{\delta y'})=0$
変分法の例題
- 2点を通る関数で、距離が最短になるものは何か、というと、答えは直線
  - この場合、2点を通る関数 $y=y(x)$ とおいて、距離をx,y,dy/dxで表現すると、積分形式になる。これを汎関数と考えて、その最小値問題を解く
  - オイラー方程式に移し替えると、満たすべき条件が出る
  - とそんな手続き
  - こちらを参考
ハミルトニアン
- 『変分問題入門』の第3章は「ハミルトニアン」
- ハミルトニアンは、場で運動する物体の座標xを時間の関数で考えるとき、そのエネルギーが、位置エネルギー(xの関数)とその時間微分(速度dx/dt)の関数の和であるような物理量(Wiki記事)
- その作りは汎関数変分法のためにあるような感じ
Dirichlet 問題
- 『変分問題入門』の第2章は楕円型方程式
  - これは、ディリクレ問題のことだろう
  - 非線形関数を汎関数の最小化探しで考える話