ぱらぱらめくる『現代幾何学への招待』曲面の幾何からシンプレクティック幾何、フレアホモロジーまで
- SGCライブラリ124
- 目次
- 1 近道の数学
- 近道は「すべての道(汎関数)」の中で一番短いもの
- 汎関数の極値を求めるために、微分したい→変分法
- 接ベクトルの大きさの積分が長さ。説ベクトルの大きさの二乗の積分から曲線の「エネルギー」も定める
- 長さの二乗はエネルギーが定める値以下になる。長さが同じ曲線にはエネルギーがいろいろなものがある
- エネルギーが極値を取るような曲線を測地線と呼ぶ
- 測地線は必ずしも最短曲線ではない(複数の測地線が引けることがある。とはいえ、十分に狭い範囲では、測地線は最短曲線
- 曲線の長さ・エネルギーは接ベクトルの大きさを使った積分なので、ベクトルの大きさの定め方が場所によって異なるような空間でも定められる→リーマン幾何
- 曲面には「必ず」複素構造が入る。等温座標の存在からそれは言える
- 2 曲面の幾何 I
- 3 曲面の位相的分類
- 境界ありなし。閉じている
- 向き付け可能・不可能
- 種数
- 4 基本群と被覆空間
- 基本群(1点に縮まらないループにどういうタイプのものがいくつあるかを考えるための要素と演算でできたもの)(縮める・ループが残る、というのがホモトピー)
- １点に縮められる空間は「単連結」
- 被覆空間(空間から空間への写像を考えて、その重複性を考えたりする)
- 被覆空間は、縮められない空間の重複性などを、「重複性は縮められる空間が背負っている」ことを利用して、縮められる空間でほぐす操作(円周をぐるぐる巻きにするのは、円周という縮められない空間と、実数直線という縮められる空間の組み合わせなので、縮められる方を処理してやることが被覆を考える、ということ)(…らしい)
- ほぐす操作をできる限りやって得られるのが、普遍被覆空間
- 等長変換・共形変換・等温座標
- 5 ポアンカレ予想と幾何化予想
- 向き付け可能な単連結3次元閉空間はS3だけか
- パーツが8種類ある、というのが幾何化予想
- 6 リッチ流
- 幾何化予想の解決に使われたリッチ流
- 7 平均曲率流
- 最も面積を効率よく減らす方向
- 「面積の負の勾配流」
- 曲面の平均曲率流では、特異点が生じてしまう
- 8 曲面の幾何 II
- 9 ビギナーの物理
- 勾配ベクトル場、発散
- 調和関数
- 最大値原理
- 熱方程式
- 10 高次元のｈ阿那志
- 11 多様体とモース理論
- 12 調和写像論
- 13 シンプレクティック幾何と古典力学
- 14 ラグランジュ部分多様体
- 15 フレアホモロジーと交叉理論
- 16 新しい幾何学の潮流
