2021-11-20

ぱらぱらめくる『量子力学の数学的基礎』

パラパラめくるシリーズ量子力学統計力学波動関数

量子力学の数学的基礎【新装版】 [ ヨハン・ルードヴィッヒ・ノイマン ]

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難しい本らしい

blog.goo.ne.jp

多少なりとも何か自分の足しになればと思って書くことにする
1. 序論的考察
- 量子力学は行列力学と波動関数との２流儀でほぼ同時に始まった。それがヒルベルト空間によって統一される、という話
- ハミルトニアンは力学系を説明する方程式
  - 位置座標と運動量とを引数とする
  - 行列力学
    - 古典では、位置座標 q はスカラー値、運動量 p もスカラー値
    - それを行列力学では、位置座標を行列 Q で、運動量を行列 P で置き換える
    - スカラー値の積 pq, pq は可換だが、行列になると非可換になる
    - 非可換性を行列積の非可換性として取り扱うのが行列力学
  - 波動関数
    - 古典では、運動量 p は速度に関する量だから、微分量。微分量だけれどスカラー値
    - 波動関数では、q の微分作用素に置き換える。この微分作用が働きかけるのが波動関数でqの関数
    - スカラー値は可換だが、微分作用素は $\frac{\partial q}{\partial \mathcal{q}}$ と $q \frac{\partial }{\partial \mathcal{q}}$ とは違う
    - 非可換性を変数と作用素の順序の入れ替えとして取り扱うのが波動関数
- 行列力学も波動関数も解く方針としては固有値・固有ベクトル
  - 固有値問題だけれど、行列力学は有限次元、波動関数は無限次元。 $\sum$ で済むか、 $\int$ と積分するかの違いになる
  - この積分がうまく行かないのが一派なので、単に無限次元化すればよいというわけにいかない(らしい)
  - 非可換になっている無限次元の話は、単にそれに対応する行列を見つけるということでは解決しないことは、非可換幾何と正準交換関係の話とつながるのだと思う(Wyle form, 正準交換関係, 非可換トーラス - ryamadaのコンピュータ・数学メモ)
- 行列力学では有限次元の行列、波動関数では関数という無限次元の連続空間を行と列とする作用素を扱う。それはアナロジーとしては無限長ベクトルの扱いと言うことになるが、数学的には違いも大きい。違いが大きいものを統一的に扱うべく導入されるのがヒルベルト空間
2. 抽象ヒルベルト空間の一般論
- 有限行列では自明な解(0ベクトル)以外の固有ベクトルを求めることが課題。固有ベクトルはそのノルムが何でもよいので、単位ベクトルの探解とみなしてもよい
- 波動関数で問題になる無限次元の方でも固有値と固有関数が問題となるが、そもそも波動関数が0ではだめで、「確率密度の積分が１」だという制約が入っている。それは行列での固有値問題における単位固有ベクトル探しに相当する
- さらに、ハミルトニアンなどの無限次元行列の形をした作用素は、状態ベクトルでサンドイッチして物理量の期待値を返すので、エルミート、さらに、状態ベクトルの変換としてみるときは、ユニタリ
- したがって、抽象ヒルベルト空間を想定した無限次元行列(を含む、行列)の固有値問題は、エルミート行列やユニタリ行列に関する固有値問題に制約して明らかにすることが必要になる
- したがって、抽象ヒルベルト空間の議論にも、そのような方向での制約化行列とその固有値問題とが主流になる
3. 量子力学の統計
- 物理量と状態の性質とが対象となる
- 物理量の観測
  - 物理量の期待値が測定される
- 状態の性質の観測
  - 状態の性質は観測すると0か1かを取る。0は存在しないという性質であり、1は存在するという性質
  - $\lambda=0,1$ とは、 $\lambda(\lambda-1) = 0$ ということであり、 $\lambda - \lambda^2=0$ と言うこと
  - これが射影作用素が $E=E^2$ と言うことに対応する
  - つまり、射影作用素は状態の性質に対応する
  - 複数の状態の性質の観測では、複数の射影作用素が登場する
  - 複数の射影作用素は(も)線形作用素の特徴を持つ
  - 状態の性質が同時測定可能な状態２つは、対応する２つの射影作用素が可換なら同時測定可能で、そうでないなら同時測定できない(ということらしい)
4. 理論の演繹的構成
- 標本はばらつく。たくさんの標本を観測し、その期待値を求めると、その期待値もばらつく。ばらつきはするが、標本数が大きいとき、その期待値を真の平均との違いは小さくなる(大数の法則)。これが、巨視的物理観測では、量子的ばらつきが影を潜め、同じ(と思われる)状態を繰り返し観測すると、『巨視的な観測誤差』を除けば、ほぼ同じ値が観測される理由(らしい)