パラパラめくる『ヒルベルト空間と線形作用素』

  • 第1章 ヒルベルト空間
    • ノルムが定まっているのがノルム空間
    • ノルム空間で会って、距離が完備なのが、バナッハ空間
    • さらに内積が定まっているのが、前ヒルベルト空間。内積が定まり、かつ、距離が完備だとヒルベルト空間
      • 内積を考えるとき、実ベクトルの内積は、\sum_{i=1}^n a_i^2だが、複素ベクトルの内積\sum_{i=1}^n a_i \overline{a_i}複素共役が出てくる。このため、(x,y)= \overline{(y,x)}とか、そういう計算になる
      • 内積の正定値性と共役複素数が出てきて定まる性質とに対して「双線形性」と言う名前がついており、内積は、「値」を返すので「関数」としての性質も持つから、「内積は双線形汎関数」であるという
>library(complexplus)
> u <- c(1+1i*2,2+1i*1)
> u * Conj(u)
> v <- c(2-1i*1,3+3*1i)
> u * Conj(v)
> v * Conj(u)
> u * v
> um <- matrix(u,ncol=1)
> vm <- matrix(v,ncol=1)
> t(Conj(vm)) %*% um
     [,1]
[1,] 9+2i
> t(Conj(um)) %*% vm
     [,1]
[1,] 9-2i
> t(Conj(um)) %*% um
      [,1]
[1,] 10+0i
library(complexplus)

n <- 2
u <- runif(n) + 1i * runif(n)
v <- runif(n) + 1i * runif(n)

# innner product of complex vectors

my.ip.complex <- function(u,v){
	Conj(t(matrix(u,ncol=1))) %*% matrix(v,ncol=1)
}

uv <- my.ip.complex(u,v)
vu <- my.ip.complex(v,u)

uv - Conj(vu) # 0


alpha <- runif(1) + 1i * runif(1)

u.alphav <- my.ip.complex(u,alpha * v)
alphau.v <- my.ip.complex(alpha * u,v)

u.alphav
alphau.v

alpha * uv
alpha * vu

u.alphav - alpha*uv # 0
alphau.v - Conj(alpha*vu) # 0


my.ip.complex(alpha * u, v) - my.ip.complex(u,Conj(alpha) * v) # 0
my.ip.complex(alpha * u, v) - Conj(alpha*vu) # 0
my.ip.complex(u,Conj(alpha) * v) - Conj(alpha) * uv # 0
my.ip.complex(alpha * u, v) - Conj(alpha) * uv # 0
my.ip.complex(alpha * u, v) - my.ip.complex(u,Conj(alpha) * v) # 0
    • A = A^*のとき、Aは自己共役(エルミート)
    • A^*A = A^*Aのとき、Aは正規
    • A^*A= AA^* = Iのとき、Aはユニタリ―作用素
    • \forall x, (Ax,x) \ge 0のとき、Aは正定値
    • P^* = P = P^2のとき、自己共役かつ冪等であるわけだが、これを射影作用素と言う
    • 非線形作用素もある
  • 第3章 スペクトル分解
  • 第4章 ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
    • コンパクト作用素は有限次元の行列を位相的な意味で直接に一般化したもの
  • 第5章 作用素単調関数と作用素平均
    • 作用素の代数的な構造を考えたり、ノルム構造や位相的な性質に着目して考えることがある。複素解析定な方法もある。作用素の順序関係を考えることもある(ここでの順序とは、正定値性から定まる自己共役作用素の間の順序のこと)
    • 順序があれば単調関数のようなものが考えられる。作用素平均は順序を保つ正定値作用素間の二項演算。電気回路の直列・並列などと関係がある
  • 第6章 特論