2014-01-21

ぱらぱらめくる『多様体がわかりたい』

多様体

数学セミナー 2014年 02月号 [雑誌]

出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2014/01/11
メディア: 雑誌
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数学セミナーの2014年2月号の特集は『多様体がわかりたい』
「多様体入門」
- 幾何を関数・解析学によってリバイバル
- 幾何学的本質に由来する関数"球面調和関数","超幾何関数","楕円関数"
- 『幾重にも広がったもの』
- 連続関数と位相空間、空間を集合の「あり方」にする
  - 連続・近傍：「距離」「近いか遠いか」は空間に必須(？）
  - 開集合
  - 開集合で定義されれう位相空間
  - 同相な写像、互いに同相な関係にある位相空間
  - べき集合・族、開被覆
  - うまく配置されている・並べつくしても不都合が発生しない位相空間はハウスドルフ空間
  - 座標を取ると解析的になる
  - うまく座標を入れられる(ハウスドルフ空間)は位相多様体
    - 「うまく」入れられる、とは、局所に入れられて、それが滑らかにつながっていること
    - なめらかにつながっているとは、局所座標からn次元実数空間に移して、さらに隣の局所座標に同相に移せることで、そういう相互に移りあえる局所座標を多様体のそこらじゅうに取ることを「局所座標系」を取る、という
  - なめらかとは微分可能なこと
  - 微分可能な多様体 $C^{\infty}$ 多様体
  - 開集合同士を対応づける写像、そしてそれが $C^{\infty}$ 写像であること
  - 多様体上の $C^{\infty}$ 関数は、それを局所座標系でn次元実数空間に移した後、そこに $C^{\infty}$ 関数となっているようなもので、そのあたりの操作が自然にうまく行くようになっているもの
  - n次元実数空間の点にm次元実数空間の点を対応づけて出来上がる、n+m次元空間の点の集まりは、n次元空間の方が開集合で、m次元空間の点への対応づけが良くできていれば、多様体になっている
    - それは２つの見方ができる
      - n次元の点の座標 $\mathbf{x}$ と、それに対応するm次元空間の点座標 $\mathbf{y}$ とから $(\mathbf{x},\mathbf{y})$ というn+m次元座標を作り、それをうまくn+m次元空間で座標変換したもの
      - $\mathbf{y} = f(\mathbf{x})$ という方程式を満足する部分集合という見方
  - どちらからも接ベクトル空間が得られるが、それぞれの作り方には、それぞれに応じて自然な接ベクトル空間の定義の仕方がある。共通するのは、逆行列を持つ正方行列の微分が使われること
  - 多様体を浮かべている次元の大きな空間に接ベクトルが定義できたけれど、多様体上の関数の接ベクトルは、浮かばせてもらっている大きな空間におく必要はなく、「自身で完結した空間としての多様体」の中(上)に接ベクトルを取ることが(当然)できる
  - 多様体はのたくっているので、多様体上の二つの関数がある点で一致して、また分かれて行く、というような挙動を取る。そのような、複数の関数が局所的に同一になるというものを考えるときには、その局所における開集合の取り方(局所座標の取りかた)とそこを通る関数との組として、登場するが、その開集合と関数との組に『関数の芽』という呼称がある
  - 関数の芽がそれぞれ持つ接ベクトルが複数集まって基底を取ることができて、これが多様体上の偏微分に相当してくる
  - のたくっていても関数があるし微分もできるし、偏微分もできるので、多様体上にベクトル場が成立する