円分多項式 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらで巡回群や多項式環のことをやっている。そこで出てきた円分多項式
英語ではCyclotomic polynomial
まず、 $x^d=1$ の複素数根のことを
べき乗を複素平面の回転と考えると、 $x^1=1$ は１回転でもとに戻ることだから、角度 $2\pi$ の回転に相当、 $x^2=1$ は２回転で元に戻ることだから、角度 $\pi$ の回転、 $x^3=1$ は $\frac{2\pi}{3}$ の回転、 $x^d=1$ は $\frac{2\pi}{d}$ の回転に相当すると考えるが素直。これ以外の角度でもよいこともあるが(たとえば、 $\frac{2\times 2\pi}{3}$ を1,2,3倍すると $\frac{2\times 2\pi}{3},\frac{4\times 2\pi}{3},\frac{6\times 2\pi}{3}$ となるが、これは、 $2\pi$ でちゃらになることを思い出せば、 $\frac{4\pi}{3},\frac{2\pi}{3},0$ に相当していて、これは $\frac{2\pi}{3}$ を1,2,3倍して考えたものと同じこと)
これは $exp^{\frac{2\pi i}{d}}=\cos{\frac{2\pi}{d}} + i \sin{\frac{2\pi}{d}}$ のこと
この複素数のことを"primitive d th-root of unity (1 (unity)のd-次の原始根"と言う
今、自然数nが与えられたとき、n以下の自然数dについて、nとdとの最大公約数が1であるとき、それを $\{d|1 \le d \le n, \text{gcd}(d,n)=1\}$ と書く。この表記を使って、自然数nに対して、すべてのdに関してそのd-次原始根を使った項の積、 $\Phi_d(x)=\prod_{1\le d \le n,\text{gcd}(d,n)=1} (x-exp^{\frac{2\pi i}{d}})$ をd-次円分多項式と言う
をn以下で、nの約数であるdを使って、d-次円分多項式の積に分解できる。それをと書く。以下が例
- $x^1-1=x-1=\Phi_1(x)$ , $\Phi_1(x)=x-1$
- $x^2-1=(x-1)(x+1)=\Phi_1(x)\Phi_2(x)$ , $\Phi_2(x)=x+1$
- $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ , $\Phi_3(x)=x^2+x+1$
- $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ , $\Phi_4(x)=x^2+1$
このように円分多項式の係数はすべて整数である(整数係数で分解できなければ、そこで分解を終了しているのだから、そうなるのが道理)
また、どうして最大公約数うんぬんや約数うんぬんが出てくるか、と言えば、１回分の円周をn等分したとき、 $x^n-1=\prod_{j=1}^n (x-exp^{j\times \frac{2\pi i}{n}}$ は、定義のようなもので自明。このうち、nの約数になっている分のjを $\Phi_{\text{yakusuu}}(x)$ として書き出してしまえば、 $\Phi_n(x)$ には、nの約数でないjの分が余る
これは、整数と $exp^{\frac{2\pi i}{n}$ なる数とが作る数の世界が体として閉じている、というようにも言い換えられる。なぜなら整数係数１変数多項式の１変数にある一つの値だけを入れて閉じた世界になっているから。このように、整数全体に１変数を加えて多項式の体(環)を作っているから、この話は、多項式体(環)の話となる
整数しかない世界が(生物界)にあったときに、冪が許されれば、複素数が立ち現れる、というようにも「意味づけ」ができる。フィボナッチ数列は整数の世界だが、そこのルールに黄金比という複素数があることになっているのと同じような理屈
150次までの円分多項式