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2. Persistence and Homology ぱらぱらめくる『Topology and Data』

ぱらぱらめくるシリーズ トポロジー トポロジー統計
  • 2.1 Introduction
    • 群(位相空間と可換群が作る群「位相・可換の群」)を以下から構成する
    • 写像
    • 写像を「位相・可換の群」から「位相・可換の群」への対応づけ(homomorphism)として考える
    • ２つの写像の関係と「位相・可換の群」におけるhomomorphismの関係とを対応付ける
      • 写像がホモトピック…「位相・可換の群」でのhomomorphismは同じ
    • 位相空間上の点を考えるとき「次元につながる値」は0
    • Betti数は位相空間の異同を判別できる(自然)数のベクトル
    • 複体
      • 位相空間を複体近似するというアイディア
      • ホモロジーの計算は線形時間
      • 複体を単体の集合として表す
      • 複体を表す単体のうち、点の数が同じ単体の集合を考え、その要素の線形組み合わせを群として扱う
      • 点の数が一つ異なる、単体集合の間に要素の出入りに対応する演算を定義する
      • 点の数が同じ単体の集合が作る群と点の数がそれとは一つ異なる単体の集合が作る群との間に線形な演算を定義する
  • 2.2 Building coverings and complexes
    • 複体のホモロジー計算は線形時間なので、データが作る点の雲を複体化してそのホモロジーを計算することで、元のデータの位相に関する情報が得られたらいいな、と考える。そう考えていいかどうかについて考える
    • 位相空間Xがある。可換群Aがあって、その要素\alphaを決めると、X上の部分がたくさんできる。そんな部分同士は重なりがあって、Xを覆う。これをcoveringと言う
    • k単体は、k+1個の\alphaによるcoveringのすべてが、相互に重なりを持つようなときに、そのときにだけ、k単体全体が含まれる。これをnerve(神経)と呼ぶ
    • ボロノイ図的に分けることもこのcoveringと関係する
    • Cech complexは対象を同半径の球でできた複体。これで対象をうまく覆う方向で考える
    • ついで、Cech complexと関係が深い単体複体であるVietoris-Rips complexに変える。Vietoris-Rips complexにも「半径」がある
    • \text{Cech}(\epsilon) \subseteq \text{Vietoris-Rips}(2\epsilon) \subseteq \text{Cech}(2\epsilon)
  • 2.3 Persistent homology
    • n次元空間上のXのBetti数を、Xからの標本のBettis数を調べることを通じて、推定できるか？という課題
    • どの道、正確な推定はできないのだから、Cech complexを作るときの球の半径を固定せず、その長さを可変にして、その長さによって、推定されるホモロジーがどのように変化するかを出力にして(そこから考える)しまおう、と。その半径が変わってもかわらずにpersistentなホモロジーが知りたいものだろう、と考えるので、"persistent homology"。
    • 標本について、Cech complex(->Vietoris-Rips complex)をその半径\epsilonを変えながら探す、という作業をすると、「本当は穴がない」のに「穴あり」のcomplexができることがある
    • もちろんその場合にはBetti数は本当とは異なった値になる
    • この辺りの工夫が標本からのトポロジー推定の大事な点(の一つ)
    • 何故かしら、圏論的定義が出てくる…何かをするのに別のことに写してからやって元に戻したい、ということの前振りなのか…
      • 圏、partially ordered set(poset)とか
    • Cech complex, Vietoris-Rips complexを実数多次元空間や非負整数多次元空間に作ることは、posetを作ることだ、という…
    • Cech/Vietoris-Rips complexesの中でposetを満足するものを見つけて、その集合として全体のトポロジーを表現しよう、という戦略(らしい)
  • 2.4 Example: Natural image statistics
    • デジタルカメラ画像
    • 膨大なピクセルｘ255のグレイスケール値がデータ全体
    • 隣接し合う少しのピクセルの情報を取ると、「平均値」と「傾斜」が見える
    • 「傾斜」をつなぐと「線」が見える
    • ３次元オブジェクトが２次元画像になるときには、この「傾斜」の線のパターンに「気が付く」ので、２次元画像から３次元トポロジーが見える？？
    • n次元オブジェクトがn-1次元情報になっていれば、「傾斜」からn次元トポロジーが見える？・・・というような話の展開か
    • Betti数は、物体を切り離さずに引ける「輪」だから、見えている「線〜輪」の本数を見つけることはBetti数を数えること？？？
    • クラインの壺を「見て」みよう
  • 2.5 Example: Electrode array data from primary visual cortex
    • データからトポロジーを導き出すにあたって、ある程度のテンプレートを持たせて行っている
  • ここまで読んだら、Rのphomパッケージによる、点集合データのトポロジー推定は使えるのでは…(phomパッケージの使用記事はこちら)