4. 四元数環の重要性 駆け足で読む『数学をいかに使うか』

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• 四元数(Wiki、その他資料)
• 四元数は環をなしている
• 
  • 四元数が積交換できないのは、四元数が行列で表されるような代数の仕組みになっていることからもわかる
  • は実次元と複素次元の２次元にを配置することからなる数で、それを行列の４つのセルに自由に置いてよいことにすれば、４倍して８次元となるが、の定義で、要素には拘束があって、２個の複素数を決めるだけで決まるので、これは、４次元
  • これが四元数の定義を満たしている
  • 四元数の３つの「虚数単位」は
    • 
• 四元数をRを使って複素２ｘ２行列で表してみる。併せて、テキストブック記載の諸性質を確認する

# 複素数行列のDeterminantの計算用関数
detComplex<-function(M){
	e.out<-eigen(M)
	prod(e.out[[1]])
}


n<-2
# 基本要素
myI<-complex(real=0,imaginary=1)
Ec<-diag(rep(1,n))
Ic<-matrix(c(myI,0,0,-myI),2,2)
Jc<-matrix(c(0,-1,1,0),2,2)
Kc<-matrix(c(0,myI,myI,0),2,2)

Ec
Ic
Jc
Kc

# 四元数を２個の複素数から作る
s<-complex(real=rnorm(1),imaginary=rnorm(1))
t<-complex(real=rnorm(1),imaginary=rnorm(1))

h<-matrix(c(s,t,-Conj(t),Conj(s)),ncol=2,byrow=TRUE)

# h*を作る
h2<-t(Conj(h))

# 
h%*%t(Conj(h))

# h=a + b i + c j + d k的な表現にする
ms<-rep(0,n^2)
ms[1]<-Re(s)
ms[2]<-Im(s)
ms[3]<-Re(t)
ms[4]<-Im(t)

ms[1]*Ec+ms[2]*Ic+ms[3]*Jc+ms[4]*Kc
h

# ノルムの自乗はDeterminantに一致する
sum(ms^2)
detComplex(h)

# h=a + b i + c j + d k的な表現から２ｘ２表現にする
ms<-runif(4)
ms[1]*Ec+ms[2]*Ic+ms[3]*Jc+ms[4]*Kc

# 四元数の実数成分をゼロにするとx*==-xの関係にある

ms[1]<-0
h3<-ms[1]*Ec+ms[2]*Ic+ms[3]*Jc+ms[4]*Kc
h4<-t(Conj(h3))
# h3== -(h4)
h3+h4

# |h|==1な四元数は2次の特殊ユニタリー群である
# |h|==1な四元数を作る
library(MCMCpack)
rs<-c(rdirichlet(1,rep(1,4)))
rs2<-sqrt(rs)
h5<-rs2[1]*Ec+rs2[2]*Ic+rs2[3]*Jc+rs2[4]*Kc
# ノルムの自乗
sum(rs2^2)
detComplex(h5)

# その共役転置を作る
h6<-t(Conj(h5))

# それらはユニタリーの条件を満たしている
h5%*%h6

• がが作る３次元空間の直交変換に対応することが示せる。これはSpin(3)と呼ばれるものなのだという
• n次元に上げていくとき、それは四元数環からClifford代数と一般化されていく(そして次の章に続いていく)
• ４元数と関係する３つの流れ
  • 四元数→ベクトル積→外積代数
  • 四元数→Clifford代数(二次形式論、スピン群)
  • 四元数→多元環論→多元環の整数論
• はの多元環、行列環はF上の多元環。外積代数もClifford代数も多元環