補. 外積代数の進む先 駆け足で読む『数学をいかに使うか』

• この記事は、3. ベクトル積から外積代数まで 駆け足で読む『数学をいかに使うか』の補足
• ベクトル積を一般次元に拡張すると、外積代数になる
• 外積代数はベクトル解析につながっている
• 外積・微分形式・外微分…時空間軌道の解析から始まった「曲線」「曲面」「多様体」に関する話題の一端であるこの記事につながる
• 微分形式は、多様体上の「曲がり方」を表した関数の集まりのようなもの。多様体の特徴を座標軸のとりかたに依存せずに捉えることを可能にする。微分形式には複数のやりかたがあって、そのうちの一つが交代微分形式と呼ばれるものである。ここでは、とのように順序を入れ替えると符号が逆転するような仕組みで作られた微分形式であり、外積の仕組みになっている。外積代数のルールが用いられることで、すっきりとした表現ができることを特徴とするとともに、積分に正負が存在することも特徴とする
• 多様体の「曲がり方」は1次微分的な曲がり方、１次微分がさらにどう曲がるか…、のように、どんどん微分をしていける。そのときに「微分形式」を採用しつつ、次数を上げていけるが、その「次数を上げる多様体上の微分」の仕事を「外微分」と言う(ようだ)。また外微分の特徴は座標の取り方に独立なこと(こちら)