2011-09-27

2. Hermite行列その他駆け足で読む『数学をいかに使うか』

駆け足で読む『数学をいかに使うか』の目次はこちら
エルミート行列は次の性質を持つことから、有用
- エルミート行列の固有値は全て実数である。
- 正値エルミート行列（対応するエルミート形式あるいは複素二次形式が正定値）の固有値は全て正の実数である。
- エルミート行列はあるユニタリー行列で対角化可能である。
複素行列とその複素共役・転置
- 複素数を成分とする $n\times m$ 行列Aを考える
- 複素共役で置き換えた行列 $\bar{A}$ (Conj(A))
- $^t(\bar{A})=\bar{^tA}=A^*$
- $\bar{AB}=\bar{A}\bar{B}$
- $(AB)^*=B^*A^*$

\bar{A}
^t(\bar{A})=\bar{^tA}=A^*
\bar{AB}=\bar{A}\bar{B}
(AB)^*=B^*A^*

n<-3
m<-4
A<-matrix(complex(real = rnorm(n*m), imaginary = rnorm(n*m)),ncol=n)
Ac<-Conj(A)
t(Ac)
Conj(t(A))
t(Ac)-Conj(t(A))
B<-matrix(complex(real = rnorm(n*m), imaginary = rnorm(n*m)),ncol=n)
Conj(A%*%t(B))
Conj(A)%*%Conj(t(B))
Conj(A%*%t(B))-Conj(A)%*%Conj(t(B))
# A^* はt(Conj(A))
t(Conj(A%*%t(B)))-t(Conj(t(B)))%*%t(Conj(A))

Hermite行列とユニタリー行列
- $H^*=H$ であるような(n次)正方行列を(n次)Hermite行列という
- $TT^*=1_n$ であるようなn次ユニタリー行列という
定理2.1. n次Hermite行列Hに対してn次ユニタリー行列Tとn個の実数を取ってとすることができる。このの集合(取り方)はTの取り方によらずHに対して定まる
- この $\lambda$ のセットは固有値全体である
- 複素数正方行列 $A$ を用いて $H=A^*A$ とすると(大概の場合) $H$ はHermite行列になり、それを固有値分解して $H=T^*diag[\lambda_i]T$ とすることで $\lambda_i > 0$ であり、 $T$ はユニタリー行列( $T^*T=I_n$ である

n<-5
A<-matrix(complex(real = rdirichlet(1,rep(1,n^2)), imaginary = rdirichlet(1,rep(1,n^2))),ncol=n)

AA<-t(Conj(A))%*%A
e.out<-eigen(AA)
e.out[[2]]%*%diag(e.out[[1]])%*%t(Conj(e.out[[2]]))-AA

La<-e.out[[1]]
B<-e.out[[2]]
BB<-t(Conj(B))%*%B
Lb<-eigen(BB)[[1]]

Lb

定理2.2. n次Hermite行列Hが正値定符号(positive definite)であるためにはHの固有値がすべて正であることが必要かつ十分である。ただし、正値定符号であるとは、 $x \neq 0$ であるようなn次元複素成分タテベクトルについて $x^*Hx=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n h_{ij}\bar{x_i}x_j$ が常に正であることを言う。ここで $x^*Hx$ をHermite形式と呼ぶ
定理2.3. n次正値定符号Hermite行列の全体を $P_n$ とすると、 $H$ とその正の整数乗 $H^m$ は $P_n$ の要素であって $H$ と $H^m$ とは１対１対応する(mが正の整数でなくてもよさそうだが…まだ、行列の正のｓ整数乗以外の話が出てきていないので、ここでは正の整数にしているのだろうか)
定理2.4. 一般線形群に属するA( $A\in GL_n(\mathbf{C})$ )は、任意のn次正値定符号Hermite行列Hに対して $A^*HA\in P_n$
定理2.5. n次正値定符号Hermite行列 $H=(h_{ij})\in P_n$ に対して、常に $det{H} \le \prod_{i}^n h_{ii}$
定理2.6. n次正方行列ならば、常に
- n次元平行体の体積は、全ベクトルが相互に直交するときに最大となることを(も)示している
線形代数と群・環・体
- 群Gの部分集合AとGの要素xについて、 $xA=\{xa | a \in A\}$ とし、Ax,xAyなども同様に定める
- 群G,G'がありGからG'への写像 $\phi$ があり、 $x,y\in G$ に対して $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ であるとき、 $\phi$ をGからG'への準同型写像(homomorphism)と呼ぶ
- $\phi$ がG'の単位元へと移すGの元を $\phi$ のカーネルと言う。 $Ker(\psi)=\{x \in G | \psi(x) = e'\}$
- $\phi$ のカーネルはGの部分群となる。
- $Ker(\phi)=\{1\}$ ならば、 $\phi$ はGからG'への同型写像(isomorphism)と言い、Gは $\phi$ によってG'と同型であると言う
- Hermite行列の集合は一般線形群の部分群で、ユニタリー行列の集合は特殊線形群の部分群
- 行列操作は、ある形の行列をある形の行列に変化させる。その「移し具合」の特徴表現として、準同型・同型、正規部分・部分などが用いられる

H^*=H
TT^*=1_n
THT^{-1}=diag\[\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\]
x^*Hx=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n h_{ij}\bar{x_i}x_j
A\in GL_n(\mathbf{C})
det{H} \le \prod_{i}^n h_{ii}

ランダムに複素正方行列を作成して、上述の定理が満足されていることを確認してみる

library(MCMCpack)
n<-3 # 次数
Niter<-100 # 繰り返し回数
dets<-rep(0,Niter) # determinantを格納
dets2<-rep(1,Niter) # \prod_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |a_{ij}|^2
# 複素正方行列Aにつき,A*Aが正値定符号であることを確認
# ただし、固有値がすべて正であることを持ってその判断とする
seichiteihugou<-rep(TRUE,Niter)
for(i in 1:Niter){
	A<-matrix(complex(real = rdirichlet(1,rep(1,n^2)), imaginary = rdirichlet(1,rep(1,n^2))),ncol=n)
# 固有値の積がdeterminant
	eigen.out<-eigen(t(Conj(A))%*%A)
	print(eigen.out[[1]])
	seichiteihugou[i]<-prod(eigen.out[[1]]>0)
	dets[i]<-prod(eigen(A)[[1]])
	dets2[i]<-prod(apply(abs(A)^2,2,sum))
}
plot(dets2-abs(dets)^2)
# Hermite形式(が実数になり)正であることの確認
herm<-rep(0,Niter)
AA<-t(Conj(A))%*%A
for(i in 1:Niter){
	x<-c(rdirichlet(1,rep(1,n)))
	herm[i]<-t(Conj(x))%*%AA %*%x
}
range(sort(Re(herm)))