座標環の「座標」 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

座標環の「座標」ってどうして「座標」って言うの？と言う質問がMath Exchangeにあった
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math.stackexchange.com

その中の回答を読むと、こういうことらしい
座標環を考えるときには、それをもたらす代数多様体がある
代数多様体が連立多項式の零点集合なので、例えば、 $f_1(x_1,...,x_n)=0,f_2(x_1,...,x_n)=0,...,f_k(x_1,...,x_n)=0$ のようにk個の関数で与えられているとする。
この代数多様体のイデアルIが、まさにこのk個の関数 $f_i(x_1,...)$ だったとすると、座標感は $C(x) / I$ と表されるが、これは、 $F(x_1,...,x_n) = \sum_i \prod_j \alpha_j^{(i)} f_j(x)^{b_j^{(i)}}$ のような関数の集まりのこと
言い換えると、イデアルを成り立たせている関数(素イデアル)を変数と見た、多項式になっている。ただし、関数となっている変数の係数が、多項式である、というように、この世界では、変数も多項式なら、係数も多項式になっている。なぜなら、「多項式の環」を考えているから
多項式ではあるが、しょせんは数とか、数を代弁している代数変数に過ぎないわけだから、k個の変数に対応する関数達は、座標軸を定めているとみることもできる
つまり、k個の変数を座標軸として、それに係数がかかっていれば、その係数は、その座標軸の値がいくつになるのか、ということを表すという意味で「座標」のことになる、とそういう意味
ちなみに、全多項式からなる座標環は、 $f_i(x) = x_i$ という関数を「座標軸」とするような座標環になっていて、このような座標環では、多項式全体が座標環の要素になっている