ぱらぱらめくる『Random Walks on Disordered Media and their scaling limits』
- 作者: Takashi Kumagai
- 出版社/メーカー: Springer
- 発売日: 2014/02/04
- メディア: ペーパーバック
- この商品を含むブログを見る
- このメモが目指すこと
- Preface
- Chapter 1 Introduction
- Chapter 2 Weighted Graphs and the Associated Markov Chains
- Chapter 3 Heat Kernel Estimates: General Theory
- Chapter 4 Heat Kernel Estimates Using Effective Resistance
- Chapter 5 Heat Kernel Estimates for Random Weighted Graphs
- Chapter 6 Alexander-Orbach Conjecture Holds When Two-Point Functions Behave Nicely
- Chapter 7 Further Results for Random Walks on IIC
- Chapter 8 Random Conductance Model
このメモが目指すこと
- このLecture notesは純粋に数学的
- 読むにあたっての目標は
- 中味を追えることではなく
- ランダムウォークにより、"disordered media"の何が掴めるのかと言うことと
- その極限を捉えるのにどの様なことを考えるのかと言うこと
Preface
- The ant in the labyrinthと言う話があると言う。ランダムに動き回ると、ある点から、ある時間後に、ある別の点にいる確率と言うのは、ランダムウォークで隣の点に移るか移らないかの確率によって変わるわけだが、これをグラフ(簡単にはグリッド)のエッジを確率p vs. 1-pで残すか残さないか、と言う問題とみなすと連結成分の大きさの現れ方に繋がる。このとき、pの値を変えるとパーコレーション理論となる。パーコレーション理論になる、とは、あるp値があって、そこで相転移が起きる。連結成分サイズが有限と無限との切り替えが起きる。熱拡散のモデルとしても使える
- Random walkさせる「メディア」が単純でないときに、熱拡散を説明するカーネルがどうなるか、その極限はどうなるか、と言うことを論じる
Chapter 1 Introduction
- 構成
- Chapters 2, 3 and 4: Weighted graph, symmetric Markov chains. Heat kernel のboundsが求められる。Sub-Gaussian heat kernel boundsと言うものも登場する。Green functionsも現れる
- Chapters 5-7: Incipient infinite cluster (IIC)と言うものを考える。パーコレーションで、無限大連結成分が現れるが、本当に無限大かどうかはわかりにくいので、その部分をなすと思しき、大きな連結成分を考えるらしく、その様な、無限の一部らしき大きいクラスタのことをIICと言うらしい
Chapter 2 Weighted Graphs and the Associated Markov Chains
Chapter 3 Heat Kernel Estimates: General Theory
- 遠ければ到達しにくい。その減衰の具合がガウシアンカーネルっぽくなりそうなのはわかる。そんな話だろうと思う
Chapter 4 Heat Kernel Estimates Using Effective Resistance
Chapter 5 Heat Kernel Estimates for Random Weighted Graphs
- 無限ランダムグラフで考える
- Alexander-Orhach conjectureと言うのがあってpercolation network のスペクトル次元はd>=2次元なら、いつでも3/4と言う予想。フラクタルとかで調べられている
Chapter 6 Alexander-Orbach Conjecture Holds When Two-Point Functions Behave Nicely
- おそらく内容はタイトルそのまま
Chapter 7 Further Results for Random Walks on IIC
- 特殊なグラフについてのこと
- ある種のランダムグラフについても
Chapter 8 Random Conductance Model
- コンダクタンスは電流の流れやすさ。直流回路で言う所の抵抗の逆数