2019-03-18

ぱらぱらめくる『Morse理論の基礎』

ぱらぱらめくるシリーズモース理論 Morse理論多様体幾何位相

Morse理論の基礎 [ 松本　幸夫 ]

ジャンル: 本・雑誌・コミック > その他
ショップ: 楽天ブックス
価格: 3,996円

まえがき
第１章　曲面上のMorse理論
第２章　一般次元への拡張
第３章　ハンドル体
第４章　多様体のホモロジー
第５章　低次元多様体

まえがき

空間は幾何学の、関数は解析学の対象
空間上で定義された関数と、その空間の計上とには関わりがある
そのかかわりに関する理論がMorse理論
特に関数の臨界点に関する情報から空間の形に関する情報を引き出すところに特徴がある
第１章で曲面を例としてMorse理論の基本ｔね木概念を導入
第２章で一般次元に拡張
第３章でMorse理論が多様体を目で見るための統一的方法としてハンドル体を説明
第４章はハンドル分解とセル分解の関係を論じ、多様体のホモロジー論が見やすくなる
第５章は低次元(４次元以下)の多様体の話。視覚的に表現できる次元

第１章　曲面上のMorse理論

臨界点は、関数を微分して0になる点
退化と非退化
- ２階の微分で0になる臨界点は「退化」
- ２階の微分で0にならない臨界点は「非退化」
- 「非退化な臨界点」はすこし摂動しても「非退化な臨界点」のままなのに対して、「退化なそれ」は臨界点でなくなったり、２つの非退化臨界点に分裂したりする。～不安定な臨界点
臨界点の評価にはヘッセ行列(２階の微分が作る行列)を用いる
ヘッセ行列の行列式が0でない場合が非退化
非退化な臨界点(２次元曲面の場合)は、個々の臨界点は孤立しており、 $x^2+y^2=z, x^2-y^2=z,-x^2-y^2=z$ の３通りに分類できる
この３通りに、0,1,2という指数を対応付ける
曲面上のMorse関数
- ある曲面上の関数の臨界点がすべて非退化であるとき、その関数をMorse関数と呼ぶ
- こんな定理もある
  - 『閉曲面Ｍの上に、非退化な臨界点が２つだけのMorse関数 $f : M \to R$ が存在すれば、Mは球面に微分同相である
- 『ある特別な場合ではあるが、曲面上のMorse関数によってその曲面の計上が決まる』ことが示されている。これの体系的研究がMorse理論
曲面上のMorse関数の最小値・最大値を考える。値を最小値から最大値へと変化させると、Mの部分集合が0から始まってだんだん大きくなり、Mそのものに到達する。その推移の様子を捕らえんとするのがMorse理論
$x^2+y^2=z$ 的な非退化臨界点をよぎるとき、新規に円板が生じる(0-ハンドル)
$x^2-y^2=z$ 的な非退化臨界点をよぎるとき、「橋渡し的な領域～1-ハンドル」が生じる
$-x^2-y^2=z$ 的な非退化臨界点をよぎるときは、円板状の空隙が消失する。この空隙を2-ハンドルと呼ぶ
閉曲面とその上のMorse関数により、ハンドルの列ができる。これがハンドル分解