2020-03-20

ぱらぱらめくる『結び目的思考法のすすめ』(数理科学2020年4月号)

結び目ぱらぱらめくるシリーズ

数理科学 2020年 04月号 [雑誌]

価格: 1049 円
楽天で詳細を見る

結び目的思考法のすすめ
- アレキサンダー多項式
- ジョーンズ多項式
- 多項式不変量
- スケイン関係式
- 代数的タングルと結び目の分類
- 結び目の補空間の3次元多様体研究
  - 任意の3次元多様体が、結び目・絡み目に沿った手術で構成可能
- 基本群
  - 基本群のPSL(2,C)表現
  - 多くの結び目に双曲構造～負の低曲率空間の構造が入る
  - 結果として、すべての3次元多様体に何らかの整った幾何構造が入るという「幾何化予想」
- ジョーンズ多項式から：
  - 作用素環への表現とそのトレースから構成された不変量
  - 統計物理的な解釈
  - 量子群よる解釈
  - 量子不変量
  - 位相的量子場
  - 3次元多様体の不変量に一般化
微分幾何と結び目
- 曲率・捩率、フレネ=セレ動標構
- 曲率・捩率は局所的な量→全体量は積分で得られる
  - 結び目が非自明ならば、全曲率は $4\pi$ 以上
  - 結び目の橋指数の $2\pi$ 倍が全曲率
- 全二乗曲率：曲線全体の集合上定義される
  - 臨界点に相当する曲線というものが、曲線全体の集合上にあり、それは全二乗曲率の１階微分がゼロであるようなもの
  - 臨界点の中で安定な臨界点に当たる曲線は弾性曲線
- 絡み目と絡み数
  - 絡み数はある結び目がもう一つの結び目に、符号込みで何回巻き付いているかを表す数
  - 自己絡み数、全捩率
  - 結び目のエネルギー、ベータ関数、留数
- 大域的曲率
  - 最小大域曲率半径は結び目の太さ
特異点と結び目
- 代数曲線の特異点が結び目
- 代数曲線をトーラスの展開図に描いて、展開図をトーラスに戻すと結び目になる、というような関係
- 任意の絡み目は、S3からR2への安定写像の特異点集合として実現できる(佐伯の定理)
- 任意の絡み目はS3からC3への可微分埋め込みのRC特異点集合として実現できる
結び目を代数化する(カンドルという考え方)
- カンドルはライでマイスター変形を代数的に記述したもの
- 対称性との関係
群による結び目の研究
- 基本群を使う
- 基本群は「空間に輪っかがどれほど引っかかるか」を表した群
- 結び目群：補集合の基本群
- 群を用いて不変量を取り出す
  - 例えば絡み目数
  - 絡み目数を一般化してミルナー不変量
- 群準同型を使って、さらに不変量取り出しに使う
計算機と結び目
- 「与えられた結び目がほどけているかどうかを判定すること」はP vs. NP 問題的にどうなの？？と言った話
組み紐の考え方と広がり
- 上下端を固定して、組み紐・組み紐群とする。あみだくじっぽいもの
- Foliationとかする
- 配置
- 超平面配置
- 写像類群
- 組み紐群には、デホノア(Dehornoy)順序と呼ばれる自然な左順序(左作用で不変な全順序)が定まる
グラフと結び目
- 球面上のグラフにする
- オイラーの多面体公式
- 次数辺数関係式
- 結び目射影図の面数公式
- 多面体の面数公式
- 空間グラフ理論(参照)
作用素環と結び目
- ジョーンズ多項式が作用素環理論を用いて発見された
- トポロジカル量子コンピュータとジョーンズ多項式の関係
  - エラー補正に使う
  - 非可換エニオンと呼ばれる準粒子がトポロジカル量子コンピュータに使えそうと思われている
場の理論と結び目
- 物理を使って結び目不変量の数学を説明しようとすることでつながりが見えてくる