ゼータ　メビウス　メビウス反転　素数　商群 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

本当にただのメモ
この論文にはお世話になった
オイラーのゼータ関数では、個々の自然数に対して１を返す関数（数論的関数）に対して、ディリクレ級数的母関数が定義できて、それがいわゆるリーマンのゼータ関数
リーマンのゼータ関数にはオイラー積表現があり、そのときに、全ての自然数を素数に因数分解することを使う。したがってオイラー積表現では、全部の素数に渡って、掛け算する
メビウスの反転公式というものがある
これは、集合を「割り算して同値類」をとることにより、関数を反転するルール
リーマンのゼータ関数の場合には、この割り算が、いわゆる算術的割り算だったので素数に渡る処理をした
この割り切れる関係をポセットにできる
ポセットではチェインを一つずつ数える。この数論的関数自体をゼータ関数と呼び、その対応的な数論的関数をメビウス関数と呼ぶ。この辺り、自然数に１を対応づける関数の母関数としてのゼータ関数と、ちょっと「ゼータ」の使い方が違いそうだ
そして、この対応する関数がどうして対応するかが、実は、メビウス反転と関係し、さらにその背後にディリクレ級数的母関数が、「割り切れる」ものに関して畳み込みが定義されていることとも関係しているのだが、文書によっては、そこに触れずに、関係だけを記載するものもあり、文書によっては、関係するメカニズムを延々と書いていて、何が知りたかったのかがわからなくなる長さになったりするので注意が必要
グラフのゼータ関数（伊原・Selberg）は、 $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ から出発していない。リーマンのゼータ関数のオイラー積表現 $\prod_{p \in P} \frac{1}{1-p^{-s}}$ の対応物として、ゼータ関数ができている。素数に対応するものとして基本となる閉測地線をとる。その測地線の「値」には「長さ」をとる
その概念をグラフの隣接行列と結びつけたら、determinantの式で表せるよ、というあたりに、伊原のゼータ関数に関する文書は重点を書いているので、そちらから入って、ポセットのゼータ関数との関係を理解しようとすると、色々な所に、段差があって大変だ