接続ホップ代数 Incidence Hopf algebras - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

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ディリクレ級数
メビウスの反転公式
ディリクレ畳み込みとメビウス関係・ゼータ関数の関係
ポセット
余代数 coalgebraと接続代数
Reduced incidence algebra
接続代数でのゼータ関数・メビウス関数
リーマンのゼータ関数の時のメビウス関数と、接続代数のメビウス関数

ディリクレ級数

1以上の自然数を考える
自然数を引数とする複素関数 $f(n)$ を考える
をディリクレ級数と言う。sは複素数だから、これは複素関数
- 関数 $f(n)$ の性質を複素関数的に表現したもの、と言う意味にとっても良い
リーマンの関数はのことで、それのディリクレ級数が
- $\zeta(s) = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^s} = \prod_{p prime} \frac{1}{1-1/p^s}$ と言う関係にあることは有名
ゼータ関数と言うのは、（一般的に？）要素を1に対応づける関数のこと（？）
- 少なくともポセットにおけるゼータ関数の議論は、ポセットが作る全てのインターバルに1を対応づける関数をゼータ関数と呼び、それに対応するメビウス関数のことなどを扱う

メビウスの反転公式

自然数nを引数とする複素関数g(n)があるとする
今、自然数nを引数とする複素関数f(n)を $f(n) = \sum_{d|n} g(d)$ とする。ただし、 $(d|n)$ は「nがdで割り切れる」ことを意味する
このときメビウス関数 $\mu(n)$ を使って $g(n) = \sum_{d|n} f(d)\mu(n/d)$ となる
ここで注意しておきたいことは、 $f(n) =\sum_{d|n} g(d) = \sum_{d|n} g(d) \zeta(n|d); \zeta(m) = 1, m=1,2,...$ であること
以下の２式は、Dirichlet畳み込みと呼ばれる
- $f(n) =(g * \zeta)(n)= \sum_{d|n} g(d) \zeta(n|d) = \sum_{i\times j = n} g(i) \zeta(j)$
- $g(n) = (f * \mu)(n) = \sum_{d|n} f(d)\mu(n/d) = \sum_{i\times j = n} f(i) \mu(j)$
なぜDirichlet畳み込みと呼ばれるかと言うと、 $(g*\zeta)(n)$ と言うnを引数とする関数のディリクレ級数が、 $f(n)$ のディリクレ級数と $\zeta(n)$ のディリクレ級数の積になり、また $,(f*\mu)(n)$ と言うもう一つのnを引数とする関数のディリクレ級数が $f(n)$ のディリクレ級数と $\mu(n)$ のディリクレ級数との積になるため
ちなみに、ディリクレ級数の式の作りが $n^s$ と関数本体[(tex:f(n)]など)の積になっているため、掛け合わせてnになる $i,j$ の組み合わせに関する足し合わせ( $\sum_{i\times j = n}$ )が、ちょうどそのような対応関係を(nが1,2,...と無限に続く限り/全ての場合を尽くす限り)満足させるからである
ここにも書いていたが、メビウス関数の書き方が悪かった…
Rでやっておく

ディリクレ畳み込みとメビウス関係・ゼータ関数の関係

$(f*g)(n) = \sum_{i \times j = n} f(i) g(j)$ と言う関数の構成方法をディリクレ畳み込みと言う
先に見た $f(n) = \sum_{d|n} g(n)$ 、 $g(n) = \sum_{d|n} f(d)\mu(n/d)$ の関係は、 $f = g * \zeta　\Rightarrow g = f * \mu$ と言う畳み込みの点で逆変換になっている

ポセット

自然数にポセット構造を入れようとすると、単純に、自然数の大小関係により $(N, \le)$ と言うものが思い浮かぶ
しかしながら、違う構造も入れられる。nがdで割り切れるとき、nはd以上である、と言うルールもポセットを作る。 $(N, |)。ただし[tex:|$ は割り切れる、と言う演算を表すものとする（この辺りから、素数、公約数の匂いがしてくる…）
ポセットでは、「インターバル」と言うものが対象になるが、グラフっぽくイメージしたい時には、自然数に自然に入る大小ポセット $(N, \le)$ を考えよう。この時、1はインターバル、２もインターバル、[1,2]もインターバル、[4,5,6]もインターバル
割り切れるかどうかで自然数にポセットを作れば、[1,2,4,8]はインターバル、[1,2,6]も[1,3,6]もインターバル
連続なポセット構造で言うなら、分岐のある道があって、どの道も一方通行である時に、ある点から別の点に行き着けるとき、その歩き方のそれぞれがインターバル

余代数 coalgebraと接続代数

ポセットが持つ、インターバル全体の集合が作るベクトル空間はに余代数が入ると言う
余代数は代数の逆さまみたいな作りのもののことだが、それについてはこちらに別途、メモをした
ポセットの余代数における、余積は $\Delta([x,y]) := \sum_{z \in [x,y]} [x,z] \otimes [z,y]$ だと言う
そして、そこにおける余積演算をしても変えない元であるcounitは $\delta([x,y]) :=1 \text{if } x=y; \text{otherwise } 0$
余代数は要素の余積（一つの要素をとって、それが指定する複数の要素の演算結果を返す）があるが、それに対応する代数とその代数の積（複数の要素の演算結果が一つの要素を返す）とに対応づくと言う特徴がある
この代数と余代数をつなぐのが、畳み込み演算
ちょっとこの辺りから怪しいのだが…
余積の書式は畳み込み演算に見える
その際の畳み込みは、行列の積になる
単なる自然数の大小関係ポセットの場合には、自然数列x自然数列の行列を作れば、値の入り方は三角行列的になる

Reduced incidence algebra

接続代数に少し制約を入れる
$[x,y]$ と $[x',y']$ とがisomorphicな時に $\phi([x,y]) = \phi([x',y'])$ であるような場合に限るという制約
こうすると $[x,y]$ と $[0,y-x]$ とに同じ値を与える関数を考えることができるようになって、全てのインターバルに対する値を、0起源の値とすることができて、自然数の数列として扱えるようになる

接続代数でのゼータ関数・メビウス関数

全てのインターバルに1を対応づけるのが接続代数でのゼータ関数
ディリクレ級数的に $f = g * \zeta \Rightarrow g = f * \mu$ を満足するのが、メビウス関数
$f([x,y]) = \sum_{z \in [x,y]} g([x,z]) \zeta([z,y])=\sum_{z \in [x,y]} g([x,z])$ ならば $g([x,y]) = \sum_{z \in [x,y]} f([x,y])\mu([z,y])$
足し合わせ要素の関係が $(d|n)$ と言うような割り切るか否か、になっていないので、対応するメビウス関数の方もそうはならず
$\mu([x,y]) = 1; \text{if } x=y$ そうでなければ $\mu([x,y]) = - \sum_{z _in [x,y]} \mu([x,z])$ と言うような $\mu$ に関する再帰的定義を持つ関数になる
これは集合のinclusion-exclusion的な足したり引いたり関係に相当する
さらに、reduced incidence algebraになって、全てのインターバルが、「インターバル距離」のみで決まるようになると
$f(y) = \sum_{z \le y} g(z) \Rightarrow g(y) = \sum_{z \le y} f(z) \mu(k); k = y-z$ のようになる
このとき、 $\mu = 1$ (k=0), $\mu = -1$ (k=1), $\mu=0$ (それ以外) のように簡単になる

リーマンのゼータ関数の時のメビウス関数と、接続代数のメビウス関数

自然数を単に大小関係でポセット化するなら、reduced incidence algebraで得られたメビウス関数を用いる事になる
自然数を素因数分解してやると、畳み込みのおかげで、素数に関するメビウス関数値の積を取ることで、割り算型( $d|n$ )に対応したメビウス関数が得られる。k=1のとき(１度だけ含まれる素数の場合)には-1を掛け、k=0(登場しない素数の場合)には、１を掛け、k>1(２度以上、登場する素数の場合)には、メビウス関数値を0にする、ことになり、これが両者の関係