接続ホップ代数 Incidence Hopf algebras
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- ディリクレ級数
- メビウスの反転公式
- ディリクレ畳み込みとメビウス関係・ゼータ関数の関係
- ポセット
- 余代数 coalgebraと接続代数
- Reduced incidence algebra
- 接続代数でのゼータ関数・メビウス関数
- リーマンのゼータ関数の時のメビウス関数と、接続代数のメビウス関数
ディリクレ級数
メビウスの反転公式
- 自然数nを引数とする複素関数g(n)があるとする
- 今、自然数nを引数とする複素関数f(n)をとする。ただし、は「nがdで割り切れる」ことを意味する
- このときメビウス関数を使ってとなる
- ここで注意しておきたいことは、であること
- 以下の2式は、Dirichlet畳み込みと呼ばれる
- なぜDirichlet畳み込みと呼ばれるかと言うと、と言うnを引数とする関数のディリクレ級数が、のディリクレ級数とのディリクレ級数の積になり、またと言うもう一つのnを引数とする関数のディリクレ級数がのディリクレ級数とのディリクレ級数との積になるため
- ちなみに、ディリクレ級数の式の作りがと関数本体[(tex:f(n)]など)の積になっているため、掛け合わせてnになるの組み合わせに関する足し合わせ()が、ちょうどそのような対応関係を(nが1,2,...と無限に続く限り/全ての場合を尽くす限り)満足させるからである
- ここにも書いていたが、メビウス関数の書き方が悪かった…
- Rでやっておく
ポセット
- 自然数にポセット構造を入れようとすると、単純に、自然数の大小関係によりと言うものが思い浮かぶ
- しかしながら、違う構造も入れられる。nがdで割り切れるとき、nはd以上である、と言うルールもポセットを作る。は割り切れる、と言う演算を表すものとする(この辺りから、素数、公約数の匂いがしてくる…)
- ポセットでは、「インターバル」と言うものが対象になるが、グラフっぽくイメージしたい時には、自然数に自然に入る大小ポセットを考えよう。この時、1はインターバル、2もインターバル、[1,2]もインターバル、[4,5,6]もインターバル
- 割り切れるかどうかで自然数にポセットを作れば、[1,2,4,8]はインターバル、[1,2,6]も[1,3,6]もインターバル
- 連続なポセット構造で言うなら、分岐のある道があって、どの道も一方通行である時に、ある点から別の点に行き着けるとき、その歩き方のそれぞれがインターバル
余代数 coalgebraと接続代数
- ポセットが持つ、インターバル全体の集合が作るベクトル空間はに余代数が入ると言う
- 余代数は代数の逆さまみたいな作りのもののことだが、それについてはこちらに別途、メモをした
- ポセットの余代数における、余積はだと言う
- そして、そこにおける余積演算をしても変えない元であるcounitは
- 余代数は要素の余積(一つの要素をとって、それが指定する複数の要素の演算結果を返す)があるが、それに対応する代数とその代数の積(複数の要素の演算結果が一つの要素を返す)とに対応づくと言う特徴がある
- この代数と余代数をつなぐのが、畳み込み演算
- ちょっとこの辺りから怪しいのだが…
- 余積の書式は畳み込み演算に見える
- その際の畳み込みは、行列の積になる
- 単なる自然数の大小関係ポセットの場合には、自然数列x自然数列の行列を作れば、値の入り方は三角行列的になる
Reduced incidence algebra
- 接続代数に少し制約を入れる
- ととがisomorphicな時にであるような場合に限るという制約
- こうするとととに同じ値を与える関数を考えることができるようになって、全てのインターバルに対する値を、0起源の値とすることができて、自然数の数列として扱えるようになる