ぱらぱらめくる『量子統計力学の数理』

  • 超、ぱらぱらめくることにする
  • はっきり言って、全部解りたいわけではない
  • 量子力学が使う代数的確率変数と、その行列的取り扱いとは、いったい何をどう表しているのかが、概念的につかみたい

第1章 数学的準備ーートレース型作用素ヒルベルト-シュミット型作用素

  • 無限次元空間を扱う、ヒルベルト空間で考える、そこに線形作用素が乗っている
  • 作用素が2種類あるらしい。トレース型の方がヒルベルト-シュミット型より厳しいようだが、考え方の根本は同じっぽい

第2章 *代数と表現

  • 量子力学の代数的定式化のための諸概念
  • *代数がわかればよいのだろう
  • 状態も
  • 対称という概念も大事そうだ

第3章 C*代数

  • *代数の中で最も基本的なC*代数
  • これが自分に必要なものだとい思われる
  • C*環
  • 大事だ、大事だ、非可換幾何にも大事だ、と言われるフォン・ノイマン代数もここに出てくる
  • 状態はなんでもよいわけではなくて、『正規状態』というのがある

第4章 代数的量子力学

  • 量子力学の代数的定式化を公理論的にする
  • 要するに、量子物理の具体性を排除して数学として書くよ、ということだろう
  • 『量子系の状態はヒルベルト空間Hの零でないベクトルによって表されーーただし、零でない定数バイだけ異なるベクトルは同じ状態を表すーー、物理量はH上の自己共役作用素によって記述される』
  • 『この系の有界な物理量から生成される*代数をヒルベルト空間の有界線形作用素の部分集合\mathfrak{A} (Aの特殊フォント)として』定め、『このとき、任意の状態\Psi(ヒルベルト空間のベクトルであってノルムを1のものとしておく)に対して』、『(上で定めた作用素の部分集合の各要素A \in \mathfrak{A}に対して\omega_{\Psi}(A) :=<\Psi, A\Psi>という写像を定めると、ある状態において、いろいろな確率変数の(期待)値がこの写像関数によってもたらされる
  • この枠組みが代数的確率論(いろんな値の分布が正体だが、その期待値がわかる)

第5章 量子多体系の一般的構造

  • 量子力学は、個々の量子・小粒子を扱いたいから、出来上がってきたわけではなくて、たくさんあつまっているときに、それぞれが異なる変数値をとりつつ、全体として「見て取れる」のはどうなるの?という説明をして欲しい分野だから、そぅいう意味での多体系
  • それを扱うために、内部エネルギーとかハミルトニアンとかが出てくる
  • 数学的にはフォック空間とかが出てきて、それでせつめいできるじゃない、こんな風に~と
  • フォック空間だけではなくて、ボソンフォック空間、フェルミオンフォック空間
  • 多体系で、すべての要素を置換してもよい、という条件は(おそらく)一番考えやすい。理想気体では全要素が自由・独立なのでこれに相当する(らしい)

第6章 R^d有界領域における量子的多体系

  • 実世界に近づくために、多変量ではあるがユークリッド空間で
  • 理論的な空間

第7章 有界系の量子統計力学

第8章 理想ボース気体 --一般論

  • 物理は理想が好き

第9章 自由ボース気体 (I)

  • 少しずつ自然を記述したい

第10章 自由ボース気体 (II)

  • さらに。

第11章 理想フェルミ気体

  • 別タイプの理想

第12章 平衡状態の特徴づけと緩和現象

  • 有界系、非夕界系、一般化

付録A コンパクト作用素

  • 数学としてちゃんとやるときは、コンパクト性とか、大事

付録B 反線形作用素の理論