2016-04-28

まえがきと目次で学ぶ〜ぱらぱらめくる『Notes on Differential Geometry and Lie Groups』

ぱらぱらめくるシリーズ多様体微分幾何リー群

1 行列の指数関数。行列リー群の例
2 解析学基礎：級数と微分係数
3 点集合論的位相幾何とは
4 多様体とリー群のイントロ
5 群と群作用
6 ローレンツ群
7 多様体、接空間、余接空間
8 Gluing data から多様体を構成する
9 ベクトル空間、積分して曲線にする、フロー
10 Partitions of unity, covering maps
11 リーマン行列、リーマン多様体
12 多様体上の接続
13 リーマン多様体上の測地線
14 リーマン多様体の曲率
15 Isometry(等長）、埋め込み、Killing ベクトルフィールド
16 リー群、リー代数、Exponential map
17 expの微分係数、Dykin's formula
18 リー群における計量、接続、曲率
19 Log-Euclideanの枠組み
20 群作用から現れる（？）多様体
21 テンソル代数
22 Exterior tensor powers(外テンソルの冪？）と外積代数
23 微分形式
24 多様体上の積分
25 分布とフロベニウスの定理
26 球面調和関数と線形表現
27 ラプラス-ベルトラミオペレータと調和形式
28 束、束の計量、一様空間
29 ベクトル束の連結と曲率
30 クリフォード代数、クリフォード群、PinとSpin
まえがき
- そもそもの動機は医学イメージングの統計解析。それをするにあたり、多様体とリー群を医学イメージング解析に応用することの素晴らしさに気付いたこと。それらを講義するために、必要なトピックをカバーする必要に迫られたこと。そのトピックには、微分幾何、リー群のleft-invariant計量なども含まれた
- そもそものスタートは、視覚認識・コンピュータビジョンへの群論の適用。そのデータ処理がローレンツ群にて説明できることがわかり、それが多様体を構成することへとつながり、その多様体の次元・自由度の問題につながった
- この問題の答えが群の作用とリー群との理論から得られた。群の積の商空間として
- これを理解するための基礎トピックは、群作用、多様体、リー群、homogenous spase、ローレンツ群など。これらを計算機科学の学生やコンピュータビジョンの学生に教える必要が出てくる
- この資料の章は、講義でメインとして使う部分とその副読章・補完章としての部分とからなる
- リー代数とリー群との間の全射の証明もつけてある
- 医学画像では曲がった対象物とその上の拡散テンソルなどを扱うが、平均や共分散行列なども簡単ではない
- 多様体上の統計量の定義・計算のためにリー群を導入する
- このテキストでは、多様体や群の証明は省略し、意味を説明した。それらのよいテキストはいくらでもある
- 微分幾何に関する章は、微分幾何をよく知っている読者にはまだるっこしいくらいに書いた
- 一様な多様体とリー群との総論的理解をすると、様々な形・多様体・空間が回転群を用いた説明が可能なことがわかる。それについての記述も増やした。reductiveな一様な多様体？
- 実用例を取り込んだ
  - 8章 3Dメッシュからの面の構成
  - 20章コンピュータビジョン
  - 19章 Log-Euclidean frameworkの医学画像への応用
  - 26章球面調和関数の応用
  - 27章行列多様体の最適化問題への応用
  - 30章クリフォード代数とスピノールのロボット・コンピュータグラフィクス応用
- 微分形式を含めるか否かは考えどころ。このテキストでは入れた。入れれば、微分形式で微分幾何とリー群とを記述することになり、結果として長くなるが、やはり意味はあると判断した、ということ
- 良い参考書