ぱらぱらめくる『動く曲線の数値計算』

動く曲線の数値計算 [ 矢崎 成俊 ]

第０章　コンピュータ上の「数」

• 浮動小数点数、必ず有限、二進法、丸め、計算順序

第 I 部　数値計算の基本

第１章　常微分方程式の数値解法

• 微分は差分で代用する
• 微分と差分では差が出る。差を小さくするには、小分けにすればよいが、計算回数が増えて誤差の原因になるというジレンマがある
• 打切り誤差と丸め誤差
• 誤差を小さくする工夫たち（オイラー法とその変法、ルンゲ=クッタ法など）
• さらなる工夫としての気の利いたオイラー法、シンプレクティック・オイラー法
• 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和が一定になるようにする～ハミルトニアン。これを「２つの誤差要因の和」を抑え込む方法としてとらえる方法

第２章　数値積分

• 区分求積、数値積分
• 端、中点、台形。改良してシンプソン則
• 気の利いた変形

第３章　非線形方程式の数値解法

• ニュートン法と二分法

第 II 部　偏微分方程式の差分解法

第４章　１階線形偏微分方程式の差分解法

• 差分商の作り方をいかにうまくするかが大きく影響する
• 前進差分・後退差分・中心差分
• 半離散化・全離散化
• 不安定性、適合性、収束性

第５章　２階線形偏微分方程式の差分解法

• 熱方程式に代表されるのが2階線形偏微分方程式なので、計算法も発達している

第 III 部　動く曲線の数値計算

第６章　動く曲線の問題

• ２つのパラメタでx,y座標を決める
• 閉曲線と開曲線
• フレネ-セレ
• 時間発展
• 曲率、長さ、面積、重心、弾性エネルギー
• 法線速度
• 曲率流方程式
• 表面拡散流方程式
• そのほか複数の「流」の方程式
• 動く開曲線は別問題

第７章　動く折れ線上の「曲率」と「法線」

• 曲率と法線の近似

第８章　動く折れ線の問題

• 「流」の方程式の離散版、エネルギーの離散版

第９章　間接法やグラフによる表現

• 曲線上の点を結ぶのが直接法、格子等の補助道具を使って折れ線近似するのが間接法
• 曲面（補助関数）を用いるものも間接法

第10章　基本解近似解法（MFS)

• メッシュを作ったり、粒子を撒いたりする方法もあった
• MFS : Method of Fundamental Solutions
• 境界値問題
• 特異点を適切に配置する